Posición relativa de recta y plano con parámetros

Para resolver ambos apartados, primero debemos extraer los elementos característicos de la recta $r$ y del plano $\pi$. La recta $r$ está dada en su forma continua: $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$. Por tanto: - Un punto de la recta es $P_r = (1, 1, 1)$. - El vector director de la recta es $\vec{v}_r = (m, 2, 4)$. El plano $\pi$ está dado en su forma general $Ax + By + Cz + D = 0$. Por tanto: - El vector normal al plano es $\vec{n}_\pi = (1, 1, k)$. 💡 **Tip:** Recuerda que los denominadores en la ecuación continua de la recta indican las componentes de su vector director, y los coeficientes de las variables en la ecuación del plano indican las componentes de su vector normal.

**a) La recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$. (1 punto)** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto ocurre si sus coordenadas son proporcionales: $$\vec{v}_r \parallel \vec{n}_\pi \iff \frac{m}{1} = \frac{2}{1} = \frac{4}{k}$$ Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante: 1. De la primera igualdad: $m = \frac{2}{1} \implies m = 2$. 2. De la segunda igualdad: $2 = \frac{4}{k} \implies 2k = 4 \implies k = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 2, \quad k = 2}$$

**b) La recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$. (1 punto)** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, se deben cumplir dos condiciones: 1. Cualquier punto de la recta, por ejemplo $P_r(1, 1, 1)$, debe pertenecer al plano $\pi$. 2. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Empezamos obligando a que el punto $P_r(1, 1, 1)$ esté en el plano $\pi \equiv x + y + kz = 0$: $$1 + 1 + k(1) = 0$$ $$2 + k = 0 \implies k = -2$$ 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, todos sus puntos satisfacen la ecuación del plano. Basta con comprobarlo para uno solo si luego aseguramos la dirección.

Una vez hallado $k = -2$, el vector normal del plano es $\vec{n}_\pi = (1, 1, -2)$. Ahora aplicamos la segunda condición: el vector director de la recta $\vec{v}_r = (m, 2, 4)$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, 1, -2)$. Para ello, su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(m, 2, 4) \cdot (1, 1, -2) = 0$$ $$m(1) + 2(1) + 4(-2) = 0$$ $$m + 2 - 8 = 0$$ $$m - 6 = 0 \implies m = 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 6, \quad k = -2}$$