Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa con parámetros

**a) Encontrar los valores de $k$ para que la matriz $A = \begin{pmatrix} k-1 & 2 & -2 \\ 0 & k-2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ sea invertible. (1 punto)** Para que una matriz cuadrada sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k-1 & 2 & -2 \\ 0 & k-2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(k-1)(k-2)(1) + (2)(1)(1) + (-2)(0)(0)] - [(-2)(k-2)(1) + (k-1)(1)(0) + (2)(0)(1)]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo. El determinante se calcula sumando los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restando los de la diagonal secundaria y sus paralelas.

Desarrollamos la expresión del determinante: $$|A| = [(k^2 - 2k - k + 2) + 2 + 0] - [-2k + 4 + 0 + 0]$$ $$|A| = (k^2 - 3k + 4) - (-2k + 4)$$ $$|A| = k^2 - 3k + 4 + 2k - 4$$ $$|A| = k^2 - k$$ Para hallar los valores de $k$ que hacen que la matriz no sea invertible, igualamos el determinante a cero: $$k^2 - k = 0 \implies k(k-1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $k = 0$ 2. $k - 1 = 0 \implies k = 1$ Por lo tanto, la matriz $A$ será invertible para todos los valores de $k$ distintos de 0 y 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

**b) Encontrar la inversa de $A$ para $k = 2$. (1 punto)** Primero, sustituimos $k = 2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2-1 & 2 & -2 \\ 0 & 2-2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el valor del determinante para $k = 2$ usando la expresión obtenida en el apartado anterior: $$|A| = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, confirmamos que la matriz tiene inversa. 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2) = -2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1) = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$