Distribución normal de notas EBAU

**a) Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 8 puntos. (1 punto)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como la nota obtenida por los alumnos en el examen de Matemáticas II. El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(6.5, 2)$$ Para calcular probabilidades, debemos transformar nuestra variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 6.5}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ para cualquier distribución normal.

Queremos hallar $P(X \gt 8)$. Realizamos la tipificación: $$P(X \gt 8) = P\left( Z \gt \frac{8 - 6.5}{2} \right) = P(Z \gt 0.75)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 0.75) = 1 - P(Z \le 0.75)$$ Buscamos el valor $0.75$ en la tabla de la $N(0,1)$: $$P(Z \le 0.75) = 0.7734$$ Sustituimos para obtener el resultado final: $$P(X \gt 8) = 1 - 0.7734 = 0.2266$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 8) = 0.2266}$$

**b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 5 puntos? (1 punto)** Primero calculamos la probabilidad de que un alumno individual tenga una nota menor de 5, es decir, $P(X \lt 5)$: $$P(X \lt 5) = P\left( Z \lt \frac{5 - 6.5}{2} \right) = P(Z \lt -0.75)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea menor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que sea mayor que su valor positivo: $$P(Z \lt -0.75) = P(Z \gt 0.75)$$ Como hemos calculado en el apartado anterior: $$P(Z \gt 0.75) = 1 - P(Z \le 0.75) = 1 - 0.7734 = 0.2266$$ 💡 **Tip:** Visualiza siempre la campana; el área a la izquierda de $-0.75$ es idéntica por simetría al área a la derecha de $0.75$.

Para obtener el número de alumnos esperado, multiplicamos la probabilidad obtenida por el número total de alumnos ($N = 500$): $$\text{Número de alumnos} = N \cdot P(X \lt 5) = 500 \cdot 0.2266 = 113.3$$ Dado que hablamos de personas, debemos dar un número entero. Redondeamos al valor más cercano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{113 \text{ alumnos}}$$