Cálculo de límites y áreas entre funciones

**a) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x \text{ sen}(x)}$. (1 punto)** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(0)-1}{0 \cdot \text{sen}(0)} = \frac{1-1}{0 \cdot 0} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si se cumple la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador $N(x) = \cos(x)-1$ y el denominador $D(x) = x \text{ sen}(x)$: - $N'(x) = -\text{sen}(x)$ - $D'(x) = 1 \cdot \text{sen}(x) + x \cdot \cos(x)$ (aplicando la regla del producto) El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x)}{\text{sen}(x) + x \cos(x)}$$ Sustituimos de nuevo $x=0$: $$\frac{-\text{sen}(0)}{\text{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0)} = \frac{0}{0+0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación, aplicamos L'Hôpital por **segunda vez**.

Derivamos de nuevo: - $N''(x) = (-\text{sen}(x))' = -\cos(x)$ - $D''(x) = (\text{sen}(x) + x \cos(x))' = \cos(x) + (1 \cdot \cos(x) + x(-\text{sen}(x))) = 2\cos(x) - x\text{sen}(x)$ Calculamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x)}{2\cos(x) - x \text{sen}(x)} = \frac{-\cos(0)}{2\cos(0) - 0 \cdot \text{sen}(0)} = \frac{-1}{2(1) - 0} = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x \text{ sen}(x)} = -\frac{1}{2}}$$

**b) Calcular el área encerrada por las gráficas de $f(x) = 4x$ y de $g(x) = x^3$ en el intervalo $[0, 2]$, probando anteriormente que en dicho intervalo $f \ge g$. (1 punto)** Para probar que $f(x) \ge g(x)$ en $[0, 2]$, definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x) = 4x - x^3$ y estudiamos su signo en el intervalo dado. Factorizamos $h(x)$: $$h(x) = x(4 - x^2) = x(2 - x)(2 + x)$$ En el intervalo $[0, 2]$: 1. El factor $x$ es siempre mayor o igual a $0$. 2. El factor $(2 - x)$ es mayor o igual a $0$ (ya que $x \le 2$). 3. El factor $(2 + x)$ es siempre positivo (ya que $x \ge 0$). Como el producto de tres términos no negativos es no negativo: $$h(x) \ge 0 \implies 4x - x^3 \ge 0 \implies 4x \ge x^3 \quad \forall x \in [0, 2]$$ Por tanto, queda probado que **$f(x) \ge g(x)$** en dicho intervalo.

Como $f(x) \ge g(x)$ en $[0, 2]$, el área viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (4x - x^3) \, dx = 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} = 2x^2 - \frac{x^4}{4}$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f$ y $g$ entre $a$ y $b$ es $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$. Al saber que $f \ge g$, podemos quitar el valor absoluto.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites de integración $0$ y $2$: $$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$2(2)^2 - \frac{2^4}{4} = 2(4) - \frac{16}{4} = 8 - 4 = 4$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$2(0)^2 - \frac{0^4}{4} = 0$$ Restamos los valores: $$A = 4 - 0 = 4 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = 4 \text{ unidades cuadradas}}$$