Extremos relativos y absolutos de una función polinómica

**a) Calcule sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)** Para estudiar el crecimiento y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos. Derivamos la función polinómica: $$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12$$ Igualamos la derivada a cero: $$6x^2 + 6x - 12 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por $6$ para simplificar: $$x^2 + x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores: $$x_1 = 1, \quad x_2 = -2$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos donde $f'(x)=0$ son candidatos a ser máximos o mínimos relativos. $$\boxed{x = 1, \quad x = -2}$$

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $(-2)$ y $(1)$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$, tomamos $x = -3$: $f'(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(-2, 1)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = -12 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(1, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Intervalos:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -2) \cup (1, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-2, 1)}$$

Calculamos las coordenadas $y$ de los puntos donde la monotonía cambia: - En $x = -2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**: $$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) = 2(-8) + 3(4) + 24 = -16 + 12 + 24 = 20$$ - En $x = 1$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**: $$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) = 2 + 3 - 12 = -7$$ 💡 **Tip:** Un máximo relativo ocurre en $x=a$ si $f'(a)=0$ y $f''(a) < 0$. Un mínimo relativo ocurre si $f'(a)=0$ y $f''(a) > 0$. ✅ **Resultado extremos relativos:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, 20); \quad \text{Mínimo relativo en } (1, -7)}$$

**b) Calcule el máximo y mínimo absolutos en el intervalo $[-2, 2]$. (1 punto)** Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[a, b]$, evaluamos la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos que pertenezcan a dicho intervalo. Los candidatos son: 1. Extremos del intervalo: $x = -2$ y $x = 2$. 2. Puntos críticos en el intervalo: $x = -2$ (ya incluido) y $x = 1$. Evaluamos la función: - Para $x = -2$: $f(-2) = 20$ (calculado anteriormente). - Para $x = 1$: $f(1) = -7$ (calculado anteriormente). - Para $x = 2$: $$f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) = 2(8) + 3(4) - 24 = 16 + 12 - 24 = 4$$ 💡 **Tip:** El teorema de Weierstrass garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza siempre su máximo y mínimo absoluto. Comparamos los valores obtenidas: - Valor máximo: $20$ (en $x = -2$). - Valor mínimo: $-7$ (en $x = 1$). ✅ **Resultado extremos absolutos:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto: } 20 \text{ en } x = -2; \quad \text{Mínimo absoluto: } -7 \text{ en } x = 1}$$