Ecuación de plano y recta en el espacio

**a) Calcular la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{2}$ y pasa por el punto $A = (1, 2, 1)$. (1 punto)** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Como el plano contiene a la recta $r$, podemos usar su vector director y un punto de la misma: - De la recta $r$, obtenemos el punto $P_r(1, 1, 1)$ y el vector director $\vec{u}_r = (2, 3, 2)$. - El plano también contiene al punto $A(1, 2, 1)$. Calculamos un segundo vector director del plano usando los dos puntos conocidos, $P_r$ y $A$: $$\vec{v} = \vec{P_r A} = A - P_r = (1-1, 2-1, 1-1) = (0, 1, 0).$$ 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, el vector director de la recta es también un vector director del plano.

La ecuación del plano $\pi$ se obtiene mediante el determinante formado por un punto (usaremos $A(1, 2, 1)$) y los dos vectores directores $\vec{u}_r = (2, 3, 2)$ y $\vec{v} = (0, 1, 0)$: $$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por ejemplo, por los elementos de la tercera fila): $$-1 \cdot \begin{vmatrix} x-1 & z-1 \\ 2 & 2 \\ \end{vmatrix} = 0$$ $$-(2(x-1) - 2(z-1)) = 0$$ $$-2x + 2 + 2z - 2 = 0 \implies -2x + 2z = 0$$ Dividiendo entre $-2$, obtenemos la ecuación general: $$\boxed{x - z = 0}$$

**b) Calcule la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $B = (2, 1, 2)$ y es perpendicular a las rectas $s_1 \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{2}$ y $s_2 \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{2}$. (1 punto)** Si la recta $r$ es perpendicular a $s_1$ y $s_2$, su vector director $\vec{u}_r$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas: - Vector director de $s_1$: $\vec{v}_1 = (2, 2, 2)$. - Vector director de $s_2$: $\vec{v}_2 = (-1, 3, 2)$. El vector director $\vec{u}_r$ se obtiene mediante el **producto vectorial** de $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$. 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a ambos simultáneamente.

Calculamos $\vec{u}_r = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ utilizando el determinante con los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{u}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 2 \\ \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\vec{u}_r = (2 \cdot 2)\vec{i} + (2 \cdot (-1))\vec{j} + (2 \cdot 3)\vec{k} - [ (2 \cdot (-1))\vec{k} + (2 \cdot 3)\vec{i} + (2 \cdot 2)\vec{j} ]$$ $$\vec{u}_r = 4\vec{i} - 2\vec{j} + 6\vec{k} - [ -2\vec{k} + 6\vec{i} + 4\vec{j} ]$$ $$\vec{u}_r = (4 - 6)\vec{i} + (-2 - 4)\vec{j} + (6 + 2)\vec{k}$$ $$\vec{u}_r = -2\vec{i} - 6\vec{j} + 8\vec{k} = (-2, -6, 8)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-2$ para trabajar con valores más sencillos: $$\vec{u}_r = (1, 3, -4)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al resultado del producto vectorial es válido como vector director de la recta.

Ya tenemos el punto $B(2, 1, 2)$ y el vector director $\vec{u}_r = (1, 3, -4)$. La ecuación continua de la recta es: $$\frac{x - x_B}{u_x} = \frac{y - y_B}{u_y} = \frac{z - z_B}{u_z}$$ Sustituyendo los valores: $$\boxed{\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 2}{-4}}$$ (También sería correcta cualquier otra forma de la recta, como las paramétricas): $$\begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 2 - 4\lambda \end{cases}$$