Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Estudie la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro $m$.** Para estudiar el sistema, definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo (rango 3): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 2) + (2 \cdot 2 \cdot m) - (m \cdot 1 \cdot 2) - (0 \cdot 2 \cdot 1) - (2 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|A| = 2 + 0 + 4m - 2m - 0 - 4 = 2m - 2$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$2m - 2 = 0 \implies 2m = 2 \implies m = 1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes $rg(A)$ y el de la ampliada $rg(A^*)$.

Analizamos los casos según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 1$** Si $m \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es 3. Como el número de incógnitas es 3 y el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**, lo que significa que tiene una **solución única**. **Caso 2: $m = 1$** Si $m = 1$, $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Veamos la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Observamos que la tercera fila es el doble de la primera ($F_3 = 2F_1$), por lo que $rg(A) = 2$ (ya que el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0$). Analizamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{vmatrix} = (6 + 6 + 16) - (8 + 6 + 12) = 28 - 26 = 2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible (S.I.)**, es decir, **no tiene solución**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 1: \text{Sistema Compatible Determinado (Solución única)} \\ m = 1: \text{Sistema Incompatible (Sin solución)} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para el caso $m = 2$.** Como $2 \neq 1$, sabemos que el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $m = 2$: $$\begin{cases} x + y + 2z = 4 \quad (E_1) \\ 2x + y = 3 \quad (E_2) \\ 2x + 2y + 2z = 6 \quad (E_3) \end{cases}$$ Podemos simplificar $(E_3)$ dividiendo entre 2: $$(E_3'): x + y + z = 3$$ Ahora restamos $(E_3')$ a $(E_1)$ para eliminar $x$ e $y$ directamente: $$(x + y + 2z) - (x + y + z) = 4 - 3 \implies z = 1$$ Sustituimos $z = 1$ en la ecuación $(E_3')$: $$x + y + 1 = 3 \implies x + y = 2 \implies y = 2 - x$$ Sustituimos $y = 2 - x$ en la ecuación $(E_2)$: $$2x + (2 - x) = 3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1$$ Finalmente, hallamos $y$: $$y = 2 - 1 \implies y = 1$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar la solución sustituyendo en las ecuaciones originales: $1+1+2(1)=4$, $2(1)+1=3$, $2(1)+2(1)+2(1)=6$. Todas se cumplen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1}$$