Probabilidad y Estadística 2019 Castilla y Leon
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en conductores
E5.- En una empresa de alquiler de vehículos con conductor:
• Trabajan 50 conductores de menos de 45 años, de los cuales 15 hablan inglés.
• Trabajan 30 conductores de entre 45 y 55 años, de los cuales 6 hablan inglés.
• Trabajan 20 conductores de más de 55 años, de los cuales 3 hablan inglés.
Considerando los sucesos: $A = \text{“tener menos de 45 años”}$, $B = \text{“tener entre 45 y 55 años”}$, $C = \text{“tener más de 55 años”}$ e $I = \text{“hablar inglés”}$:
a) Calcular $P(I/A)$, $P(I/B)$ y $P(I/C)$. (0,9 puntos)
b) Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 45 años? (1,1 puntos)
Paso 1
Identificación de datos y cálculo de probabilidades iniciales
**a) Calcular $P(I/A)$, $P(I/B)$ y $P(I/C)$. (0,9 puntos)**
Primero, determinamos el número total de conductores para establecer las probabilidades de pertenecer a cada grupo de edad ($A, B$ o $C$):
$$\text{Total conductores} = 50 + 30 + 20 = 100$$
Definimos las probabilidades de cada suceso según la frecuencia relativa:
- $P(A) = \frac{50}{100} = 0,5$
- $P(B) = \frac{30}{100} = 0,3$
- $P(C) = \frac{20}{100} = 0,2$
Ahora calculamos las probabilidades condicionadas solicitadas, que representan la probabilidad de hablar inglés sabiendo que se pertenece a un grupo de edad específico:
- Para el grupo $A$ (menos de 45 años): Hay 15 que hablan inglés de un total de 50.
$$P(I/A) = \frac{15}{50} = 0,3$$
- Para el grupo $B$ (entre 45 y 55 años): Hay 6 que hablan inglés de un total de 30.
$$P(I/B) = \frac{6}{30} = 0,2$$
- Para el grupo $C$ (más de 55 años): Hay 3 que hablan inglés de un total de 20.
$$P(I/C) = \frac{3}{20} = 0,15$$
💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad condicionada $P(I/X)$ se calcula dividiendo los casos favorables de inglés dentro de ese grupo $X$ por el total de conductores en ese grupo $X$.
✅ **Resultados del apartado a):**
$$\boxed{P(I/A) = 0,3; \quad P(I/B) = 0,2; \quad P(I/C) = 0,15}$$
Paso 2
Representación mediante árbol de probabilidad
Para visualizar mejor el problema y resolver el apartado b), construimos el árbol de probabilidad con los datos obtenidos. Llamaremos $\bar{I}$ al suceso "no hablar inglés".
Paso 3
Cálculo de la probabilidad total de hablar inglés
**b) Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 45 años? (1,1 puntos)**
Nos piden calcular $P(A/I)$. Para aplicar el Teorema de Bayes, primero necesitamos la probabilidad total de que un conductor hable inglés, $P(I)$.
Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(I) = P(A) \cdot P(I/A) + P(B) \cdot P(I/B) + P(C) \cdot P(I/C)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(I) = 0,5 \cdot 0,3 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,15$$
$$P(I) = 0,15 + 0,06 + 0,03 = 0,24$$
💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, hablar inglés).
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes
Finalmente, calculamos la probabilidad de que el conductor sea menor de 45 años dado que habla inglés usando el **Teorema de Bayes**:
$$P(A/I) = \frac{P(A \cap I)}{P(I)} = \frac{P(A) \cdot P(I/A)}{P(I)}$$
Sustituimos los valores calculados anteriormente:
$$P(A/I) = \frac{0,5 \cdot 0,3}{0,24} = \frac{0,15}{0,24}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(A/I) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} = 0,625$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{P(A/I) = 0,625}$$