Análisis 2019 Castilla y Leon
Continuidad e integración con parámetros
E4.- Determínense los valores de $a$ y de $b$ para los cuales la función definida por:
$$ f(x) = \begin{cases} a + \cos x, & \text{si } x \le 0 \\ x^2 - 2bx + 1, & \text{si } x > 0 \end{cases} $$
es continua y verifica que $\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{3}$. (2 puntos)
Paso 1
Estudio de la continuidad para hallar el valor de a
Para que la función sea continua en todo su dominio, debe serlo especialmente en el punto de salto entre ramas, $x = 0$.
Una función es continua en $x = c$ si se cumple que:
1. Existe $f(c)$.
2. Existen los límites laterales y son iguales (existe el límite).
3. El valor del límite coincide con el valor de la función: $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
Calculamos los límites laterales en $x = 0$:
- **Límite por la izquierda ($x \le 0$):**
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (a + \cos x) = a + \cos(0) = a + 1$$
- **Límite por la derecha ($x \gt 0$):**
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2bx + 1) = 0^2 - 2b(0) + 1 = 1$$
Para que sea continua, ambos límites deben ser iguales:
$$a + 1 = 1 \implies a = 0$$
💡 **Tip:** Recuerda que $\cos(0) = 1$. Para funciones a trozos, la continuidad requiere que las ramas "encajen" en el valor de la frontera.
$$\boxed{a = 0}$$
Paso 2
Cálculo de la integral definida para hallar b
Se nos indica que la integral de la función en el intervalo $[0, 1]$ es igual a $\frac{1}{3}$. En este intervalo, la función se rige por la segunda rama, ya que $x \gt 0$.
Planteamos la integral:
$$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x^2 - 2bx + 1) dx$$
Calculamos la integral indefinida (la primitiva):
$$\int (x^2 - 2bx + 1) dx = \frac{x^3}{3} - 2b\frac{x^2}{2} + x = \frac{x^3}{3} - bx^2 + x$$
Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar entre $0$ y $1$:
$$\left[ \frac{x^3}{3} - bx^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} - b(1)^2 + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - b(0)^2 + 0 \right)$$
$$= \left( \frac{1}{3} - b + 1 \right) - 0 = \frac{4}{3} - b$$
💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.
Paso 3
Resolución de la ecuación para b y conclusión
Igualamos el resultado obtenido al valor proporcionado en el enunciado:
$$\frac{4}{3} - b = \frac{1}{3}$$
Despejamos $b$:
$$-b = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}$$
$$-b = -\frac{3}{3}$$
$$-b = -1 \implies b = 1$$
Por tanto, los valores buscados para que la función sea continua y cumpla la condición de la integral son:
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{a = 0, \quad b = 1}$$