Teorema de Rolle y unicidad de raíces

**a) Enunciar el teorema de Rolle. (1 punto)** Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes tres hipótesis: 1. Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores de la función en los extremos son iguales: $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que la derivada en dicho punto es cero: $$f'(c) = 0.$$ Geométricamente, esto significa que existe al menos un punto en el intervalo donde la recta tangente a la curva es horizontal. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar Rolle es imprescindible que se cumplan las tres condiciones simultáneamente. Si falla la derivabilidad en un solo punto del abierto, el teorema no está garantizado.

**b) Indicar un punto en el que la función $f(x) = 2x - \text{sen } x$ tome el valor 0, y demostrar (o bien usando el teorema del apartado previo o bien con algún otro razonamiento) que esta función sólo se anula en ese punto. (1 punto)** Observamos la función $f(x) = 2x - \text{sen } x$. Probamos con valores sencillos para encontrar una raíz evidente: Si $x = 0$: $$f(0) = 2(0) - \text{sen}(0) = 0 - 0 = 0.$$ Por lo tanto, el punto buscado es **$x = 0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0}$$

Para demostrar que no existen más puntos donde la función se anule, estudiaremos el crecimiento de la función utilizando su derivada. Calculamos la derivada de $f(x) = 2x - \text{sen } x$: $$f'(x) = 2 - \cos x.$$ Analizamos el rango de valores de $f'(x)$: Sabemos que la función coseno está acotada: $-1 \le \cos x \le 1$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$. Si multiplicamos por $-1$ (cambiando el sentido de la desigualdad): $$-1 \le -\cos x \le 1.$$ Sumamos $2$ en todos los términos: $$2 - 1 \le 2 - \cos x \le 2 + 1 \implies 1 \le f'(x) \le 3.$$ Como $f'(x) \ge 1$ para todo $x$, entonces **$f'(x) > 0$** en todo su dominio. Esto implica que $f(x)$ es una función **estrictamente creciente** en todo $\mathbb{R}$. Una función que es estrictamente creciente puede cruzar el eje de abscisas (valor 0) como máximo una vez. 💡 **Tip:** Si una función es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece), no puede tener dos raíces distintas.

También podemos demostrar la unicidad usando el **Teorema de Rolle** mediante una reducción al absurdo: 1. Supongamos que existieran dos puntos distintos $x_1$ y $x_2$ (con $x_1 \lt x_2$) tales que $f(x_1) = 0$ y $f(x_2) = 0$. 2. Dado que $f(x)$ es una función continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ (por ser suma de un polinomio y una función trigonométrica), se cumplirían las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[x_1, x_2]$. 3. Entonces, debería existir un punto $c \in (x_1, x_2)$ tal que $f'(c) = 0$. 4. Sin embargo, hemos visto en el paso anterior que $f'(x) = 2 - \cos x$. Como el valor mínimo de $f'(x)$ es $1$, es imposible que $f'(c) = 0$. Llegamos a una contradicción, lo que demuestra que **no pueden existir dos puntos donde la función se anule**. ✅ **Conclusión final:** $$\boxed{\text{La función solo se anula en } x = 0}$$