Perpendicularidad y producto vectorial con parámetros

Para que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero ($ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $). Dados los vectores $\vec{u} = (a, -1, 2)$ y $\vec{v} = (1, b, -2)$, calculamos su producto escalar: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(1) + (-1)(b) + (2)(-2) = a - b - 4$$ Igualamos a cero para cumplir la condición de perpendicularidad: $$a - b - 4 = 0 \implies a - b = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar de dos vectores $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ es $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. $$\boxed{a - b = 4 \quad \text{(Ecuación 1)}}$$

Calculamos el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilizando el determinante de los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & -1 & 2 \\ 1 & b & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ b & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} a & -1 \\ 1 & b \end{vmatrix}$$ Calculamos cada componente: - Primera coordenada (en $\vec{i}$): $(-1)(-2) - (2)(b) = 2 - 2b$ - Segunda coordenada (en $\vec{j}$): $-(a(-2) - (2)(1)) = -(-2a - 2) = 2a + 2$ - Tercera coordenada (en $\vec{k}$): $(a)(b) - (-1)(1) = ab + 1$ Por tanto: $$\vec{u} \times \vec{v} = (2 - 2b, 2a + 2, ab + 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial es un vector perpendicular a ambos. No olvides el signo negativo del término central en el desarrollo del determinante.

El enunciado indica que las dos primeras coordenadas del producto vectorial deben ser iguales. Igualamos los resultados obtenidos en el paso anterior: $$2 - 2b = 2a + 2$$ Simplificamos la ecuación restando 2 en ambos lados: $$-2b = 2a$$ $$a = -b$$ $$\boxed{a + b = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}}$$

Ahora resolvemos el sistema formado por la **Ecuación 1** y la **Ecuación 2**: $$\begin{cases} a - b = 4 \\ a + b = 0 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la incógnita $b$: $$(a - b) + (a + b) = 4 + 0$$ $$2a = 4 \implies a = 2$$ Sustituimos el valor de $a$ en la segunda ecuación: $$2 + b = 0 \implies b = -2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -2}$$