Ecuación matricial con parámetros e inversa

Para resolver la ecuación $AM = N^{-1}$, primero calcularemos el producto de las matrices $A$ (dimensión $2 \times 3$) y $M$ (dimensión $3 \times 2$). El resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$. $$AM = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ x - y & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Elemento $(1,1)$: $1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot (x - y) = x + x - y = 2x - y$ - Elemento $(1,2)$: $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$ - Elemento $(2,1)$: $-1 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot (x - y) = -x + y$ - Elemento $(2,2)$: $-1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$ Por tanto: $$AM = \begin{pmatrix} 2x - y & 1 \\ -x + y & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Ahora calculamos la inversa de la matriz $N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Primero, hallamos su determinante: $$|N| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 2 - 1 = 1$$ Como $|N| \neq 0$, la matriz es invertible. La matriz adjunta de $N$ es: $$\text{Adj}(N) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Y su traspuesta es: $$(\text{Adj}(N))^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $N^{-1}$: $$N^{-1} = \frac{1}{|N|} (\text{Adj}(N))^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Igualamos las matrices resultantes de los pasos anteriores para que se cumpla $AM = N^{-1}$: $$\begin{pmatrix} 2x - y & 1 \\ -x + y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Dos matrices son iguales si lo son todos sus elementos en las mismas posiciones. Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 2x - y = 2 \\ -x + y = 1 \end{cases}$$ Las igualdades de los elementos de la segunda columna ($1=1$) se cumplen trivialmente y no aportan información adicional. Para resolver el sistema, podemos usar el método de **reducción** sumando ambas ecuaciones: $$(2x - y) + (-x + y) = 2 + 1$$ $$x = 3$$ Sustituimos $x = 3$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$-3 + y = 1 \implies y = 1 + 3 = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 3, \quad y = 4}$$