Distribución normal de la temperatura corporal

Definimos la variable aleatoria $X$ como la temperatura del cuerpo humano expresada en grados Celsius ($^{\circ}\text{C}$). Según el enunciado, la variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(37, \; 0.5)$$ Donde: - La media es $\mu = 37^{\circ}\text{C}$. - La desviación típica es $\sigma = 0,5^{\circ}\text{C}$. Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos transformarla en una **distribución normal estándar** $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de tipificación. 💡 **Tip:** La fórmula para tipificar es $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

**a) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre $36^{\circ}\text{C}$ y $38^{\circ}\text{C}$ (1 punto)** Buscamos calcular $P(36 \le X \le 38)$. Aplicamos la fórmula de tipificación a los dos límites del intervalo: - Para $x_1 = 36 \implies z_1 = \dfrac{36 - 37}{0.5} = \dfrac{-1}{0.5} = -2$ - Para $x_2 = 38 \implies z_2 = \dfrac{38 - 37}{0.5} = \dfrac{1}{0.5} = 2$ Por tanto: $$P(36 \le X \le 38) = P(-2 \le Z \le 2)$$ Utilizamos las propiedades de la función de distribución de la normal estándar: $$P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le -2)$$ $$P(Z \le 2) - [1 - P(Z \le 2)] = 2 \cdot P(Z \le 2) - 1$$

Buscamos el valor de $P(Z \le 2)$ en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ Sustituimos en la expresión anterior: $$P(36 \le X \le 38) = 2 \cdot (0.9772) - 1 = 1.9544 - 1 = 0.9544$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(36 \le X \le 38) = 0.9544}$$ Esto significa que hay un $95,44\%$ de probabilidad de que una persona tenga una temperatura entre $36^{\circ}\text{C}$ y $38^{\circ}\text{C}$.

**b) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona sea menor que $36,5^{\circ}\text{C}$. (1 punto)** En este caso se nos pide $P(X \lt 36,5)$. Tipificamos el valor: $$z = \frac{36.5 - 37}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1$$ Entonces: $$P(X \lt 36.5) = P(Z \lt -1)$$ Por la propiedad de simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea menor que un valor negativo es equivalente a $1$ menos la probabilidad de que sea menor que el valor positivo: $$P(Z \lt -1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $Z = 1$: $$P(Z \le 1) = 0.8413$$ Calculamos la diferencia: $$P(X \lt 36.5) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 36.5) = 0.1587}$$ Hay un $15,87\%$ de probabilidad de que la temperatura sea inferior a $36,5^{\circ}\text{C}$.