Límites por L'Hôpital y Cálculo de áreas con parámetros

**a) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{e^x - \cos x}$ (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{e^x - \cos x} = \frac{\text{sen } 0}{e^0 - \cos 0} = \frac{0}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos la indeterminación **$0/0$**, por lo que podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $0/0$ o $\infty/\infty$ derivando el numerador y el denominador de forma independiente: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $(\text{sen } x)' = \cos x$ - Derivada del denominador: $(e^x - \cos x)' = e^x - (-\text{sen } x) = e^x + \text{sen } x$ Aplicamos el límite a la nueva expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{e^x - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{e^x + \text{sen } x}$$ Sustituimos de nuevo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 0}{e^0 + \text{sen } 0} = \frac{1}{1 + 0} = 1$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{1}$$

**b) Calcular $a$, siendo $a > 1$, para que el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = x$, $g(x) = ax$ y $x = 1$ sea 1. (1 punto)** Analizamos las funciones dadas: 1. $f(x) = x$ es una recta que pasa por el origen con pendiente 1. 2. $g(x) = ax$ es una recta que pasa por el origen con pendiente $a$. 3. Como nos indican que $a > 1$, la recta $g(x)$ estará siempre por encima de $f(x)$ para valores de $x > 0$. Buscamos los puntos de corte entre $f(x)$ y $g(x)$: $$x = ax \implies ax - x = 0 \implies x(a-1) = 0$$ Como $a > 1$, la única solución es $x = 0$. La región está acotada entre $x = 0$ (punto de corte), $x = 1$ (recta vertical dada) y las dos funciones. El recinto es un triángulo con vértices en $(0,0)$, $(1,1)$ y $(1,a)$. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $g(x)$ y $f(x)$ en un intervalo $[p, q]$ donde $g(x) \ge f(x)$ se calcula como $\int_{p}^{q} (g(x) - f(x)) \, dx$.

Planteamos la integral para el área $A$: $$A = \int_{0}^{1} (ax - x) \, dx = \int_{0}^{1} (a-1)x \, dx$$ Calculamos la primitiva e integramos aplicando la **Regla de Barrow**: $$A = (a-1) \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = (a-1) \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{a-1}{2}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, siendo $F(x)$ la primitiva de $f(x)$.

El enunciado establece que el área debe ser igual a 1. Igualamos nuestra expresión al valor dado: $$\frac{a-1}{2} = 1$$ Despejamos $a$: $$a - 1 = 2$$ $$a = 3$$ Como el valor obtenido $a = 3$ cumple la condición $a > 1$, la solución es válida. ✅ **Resultado del parámetro:** $$\boxed{a = 3}$$