Extremos relativos en funciones a trozos

**a) Probar que posee un máximo relativo en -1 y un mínimo relativo en 2. (1,4 puntos)** Para estudiar los extremos relativos, primero debemos analizar la continuidad y derivabilidad de la función, especialmente en el punto de salto entre intervalos ($x=0$). **Continuidad en $x=0$:** 1. $f(0) = 0^2 - 4(0) = 0$. 2. $\lim_{x \to 0^-} (-x^2 - 2x) = 0$. 3. $\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 4x) = 0$. Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, $f(x)$ es **continua en $x=0$**. **Derivada de la función:** Derivamos cada rama de forma independiente para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} -2x - 2 & \text{si } x \lt 0 \\ 2x - 4 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ **Derivabilidad en $x=0$:** - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = -2(0) - 2 = -2$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = 2(0) - 4 = -4$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x=0$** (presenta un punto anguloso). 💡 **Tip:** Recuerda que para que existan extremos relativos en puntos donde la función es derivable, la primera derivada debe ser cero ($f'(x)=0$).

Buscamos los puntos donde la derivada es cero en cada rama: **Rama 1 ($x \lt 0$):** $-2x - 2 = 0 \implies -2x = 2 \implies x = -1$. Como $-1 \lt 0$, es un punto crítico válido. **Rama 2 ($x \gt 0$):** $2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Como $2 \gt 0$, es un punto crítico válido. **Comprobación del máximo en $x=-1$:** Usamos la segunda derivada en la primera rama: $f''(x) = -2$. Como $f''(-1) = -2 \lt 0$, por el criterio de la segunda derivada, existe un **máximo relativo en $x = -1$**. El valor del máximo es $f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 1)}$$

Analizamos el punto crítico $x=2$ perteneciente a la segunda rama. **Comprobación del mínimo en $x=2$:** Usamos la segunda derivada en la segunda rama: $f''(x) = 2$. Como $f''(2) = 2 \gt 0$, por el criterio de la segunda derivada, existe un **mínimo relativo en $x = 2$**. El valor del mínimo es $f(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. 💡 **Tip:** El criterio de la segunda derivada dice: si $f'(a)=0$ y $f''(a) \gt 0$ hay un mínimo; si $f''(a) \lt 0$ hay un máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (2, -4)}$$

**b) Probar que no posee extremo relativo en 0. (0,6 puntos)** Para que en $x=0$ haya un extremo relativo, la función debería cambiar de crecimiento a decrecimiento (o viceversa). Vamos a estudiar el signo de la primera derivada en las proximidades de $x=0$. Analizamos los intervalos definidos por los puntos críticos $x=-1, x=0$ (punto de no derivabilidad) y $x=2$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Función} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Cont.} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Estudio del signo cerca de $x=0$:** - Si $x \in (-1, 0)$, elegimos $x=-0,5$: $f'(-0,5) = -2(-0,5) - 2 = 1 - 2 = -1 \lt 0$ (**Decreciente**). - Si $x \in (0, 2)$, elegimos $x=1$: $f'(1) = 2(1) - 4 = -2 \lt 0$ (**Decreciente**). Como la función es decreciente justo antes de $x=0$ y sigue siendo decreciente justo después de $x=0$, no hay un cambio en la monotonía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al no haber cambio de signo en } f'(x) \text{ en el entorno de } x=0, \text{ no existe extremo relativo en dicho punto.}}$$