Perpendicularidad y vectores unitarios

**a) Consideremos los vectores $\vec{u} = (1, 1, a)$ y $\vec{v} = (1, -1, a)$. Calcular $a$ para que sean perpendiculares. (0,5 puntos)** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares (ortogonales) si y solo si su producto escalar es igual a cero: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Calculamos el producto escalar componente a componente: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1, 1, a) \cdot (1, -1, a) = (1)(1) + (1)(-1) + (a)(a)$$ $$1 - 1 + a^2 = a^2$$ Para que sean perpendiculares, imponemos la condición: $$a^2 = 0 \implies a = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar de dos vectores $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ es $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**b) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores $\vec{p} = (1, 2, 3)$ y $\vec{q} = (1, -2, -3)$. (1,5 puntos)** Para hallar un vector perpendicular a dos vectores dados, utilizamos el **producto vectorial** $\vec{w} = \vec{p} \times \vec{q}$. Planteamos el determinante con los vectores unitarios $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ y lo resolvemos por la regla de Sarrus: $$\vec{w} = \vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = [\vec{i} \cdot 2 \cdot (-3) + \vec{j} \cdot 3 \cdot 1 + \vec{k} \cdot 1 \cdot (-2)] - [\vec{k} \cdot 2 \cdot 1 + \vec{i} \cdot 3 \cdot (-2) + \vec{j} \cdot 1 \cdot (-3)]$$ $$\vec{w} = [-6\vec{i} + 3\vec{j} - 2\vec{k}] - [2\vec{k} - 6\vec{i} - 3\vec{j}]$$ $$\vec{w} = -6\vec{i} + 3\vec{j} - 2\vec{k} - 2\vec{k} + 6\vec{i} + 3\vec{j}$$ $$\vec{w} = 0\vec{i} + 6\vec{j} - 4\vec{k} = (0, 6, -4)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce siempre un vector que es simultáneamente perpendicular a los dos vectores originales.

Un vector unitario es aquel cuyo módulo es igual a 1. Para obtenerlo, dividimos el vector $\vec{w}$ entre su propio módulo. Calculamos primero el módulo de $\vec{w} = (0, 6, -4)$: $$|\vec{w}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 36 + 16} = \sqrt{52}$$ Simplificamos la raíz: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$. El vector unitario $\vec{u}_w$ será: $$\vec{u}_w = \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \frac{(0, 6, -4)}{2\sqrt{13}} = \left( 0, \frac{6}{2\sqrt{13}}, \frac{-4}{2\sqrt{13}} \right) = \left( 0, \frac{3}{\sqrt{13}}, -\frac{2}{\sqrt{13}} \right)$$ Racionalizando si es necesario: $$\vec{u}_w = \left( 0, \frac{3\sqrt{13}}{13}, -\frac{2\sqrt{13}}{13} \right)$$ *Nota: El vector opuesto $-\vec{u}_w$ también es una solución válida.* ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{u}_w = \left( 0, \dfrac{3\sqrt{13}}{13}, -\dfrac{2\sqrt{13}}{13} \right)}$$