Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discutir según los valores del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones lineales** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial. Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & m & 4 \end{array}\right)$$ El número de incógnitas es $n = 3$ ($x, y, z$). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $rg(A) = rg(A^*) = n$, el sistema es compatible determinado; si $rg(A) = rg(A^*) < n$, es compatible indeterminado; y si $rg(A) \neq rg(A^*)$, es incompatible.

Analizamos el rango de la matriz $A$, que tiene dimensión $2 \times 3$. Por tanto, el rango máximo posible es $2$. Buscamos un menor de orden $2$ que no dependa de $m$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot 2) = 1 - 2 = -1 \neq 0$$ Como existe al menos un menor de orden $2$ no nulo, el rango de $A$ es $2$ para cualquier valor de $m$. $$\boxed{rg(A) = 2, \quad \forall m \in \mathbb{R}}$$

La matriz ampliada $A^*$ tiene dimensión $2 \times 4$. Dado que el rango de $A$ ya es $2$ y la matriz solo tiene $2$ filas, el rango de la ampliada no puede ser mayor que $2$. Por tanto, siempre se cumple que: $$rg(A) = rg(A^*) = 2$$ Comparando con el número de incógnitas ($n = 3$): $$rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado** para cualquier valor de $m$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Indeterminado (SCI) para todo } m \in \mathbb{R}}$$

**b) Resolverlo para $m = 1$. (1 punto)** Sustituimos $m = 1$ en el sistema: $$ \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + y + z = 4 \end{cases} $$ Como el rango es $2$, el sistema tiene infinitas soluciones y depende de $3 - 2 = 1$ parámetro. Tomamos $z = \lambda$ como parámetro libre ($\lambda \in \mathbb{R}$): $$ \begin{cases} x + y = 1 + \lambda \\ 2x + y = 4 - \lambda \end{cases} $$ 💡 **Tip:** Para resolver sistemas con más incógnitas que ecuaciones, pasamos una de las variables al otro lado de la igualdad tratándola como un número real (parámetro).

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones resultante por el método de reducción. Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2x + y) - (x + y) = (4 - \lambda) - (1 + \lambda)$$ $$x = 3 - 2\lambda$$ Ahora despejamos $y$ de la primera ecuación: $$y = 1 + \lambda - x$$ $$y = 1 + \lambda - (3 - 2\lambda)$$ $$y = 1 + \lambda - 3 + 2\lambda$$ $$y = -2 + 3\lambda$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$