Probabilidades en una distribución normal de pesos

Definimos la variable aleatoria $X$ como el peso en kilogramos de un individuo de la población. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu=70, \sigma=10)$$ Para realizar los cálculos, debemos transformar esta variable en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 70}{10}$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite utilizar las tablas de la distribución normal estándar para calcular probabilidades de cualquier normal $N(\mu, \sigma)$.

**1) [1 PUNTO] Calcule el porcentaje de población que pesa entre $65$ y $75 kg$.** Buscamos la probabilidad $P(65 \le X \le 75)$. Primero tipificamos los límites del intervalo: $$P(65 \le X \le 75) = P\left(\frac{65 - 70}{10} \le Z \le \frac{75 - 70}{10}\right)$$ $$P(-0.5 \le Z \le 0.5)$$ Usamos la propiedad de la probabilidad en un intervalo para la normal: $$P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z \le -0.5)$$ Como la distribución es simétrica, $P(Z \le -0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$: $$P(Z \le 0.5) - [1 - P(Z \le 0.5)] = 2 \cdot P(Z \le 0.5) - 1$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor para $Z = 0.5$, que es $0.6915$: $$2 \cdot (0.6915) - 1 = 1.3830 - 1 = 0.3830$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.3830 \cdot 100 = 38.30\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$ y que para valores negativos usamos $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{38.30\%}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule el porcentaje de población que pesa al menos $85 kg$.** La expresión "al menos $85 kg$" se traduce como $P(X \ge 85)$. Tipificamos el valor: $$P(X \ge 85) = P\left(Z \ge \frac{85 - 70}{10}\right) = P(Z \ge 1.5)$$ Dado que las tablas suelen darnos la probabilidad acumulada hacia la izquierda ($Z \le z$), usamos el suceso complementario: $$P(Z \ge 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$$ Buscamos en la tabla el valor para $Z = 1.5$, que es $0.9332$: $$1 - 0.9332 = 0.0668$$ Convertimos a porcentaje: $$0.0668 \cdot 100 = 6.68\%$$ 💡 **Tip:** En una distribución continua, $P(X \ge a)$ es lo mismo que $P(X \gt a)$. No olvides que la suma total de las probabilidades bajo la curva es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{6.68\%}$$