Ecuación del plano paralelo a dos rectas

**1) [2.5 PUNTOS] Calcule la ecuación general (implícita) del plano que pasa por $A$ y es paralelo a $r_1$ y a $r_2$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Como el plano debe ser paralelo a las rectas $r_1$ y $r_2$, sus vectores directores serán también vectores directores del plano. La recta $r_1$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $r_1 \equiv \begin{cases} 0x + 1y + 0z = 2 \rightarrow \vec{n}_{11} = (0, 1, 0) \\ 2x + 0y + 1z = 13 \rightarrow \vec{n}_{12} = (2, 0, 1) \end{cases}$ $$\vec{v}_1 = \vec{n}_{11} \times \vec{n}_{12} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_1 = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\vec{i} - (0 \cdot 1 - 0 \cdot 2)\vec{j} + (0 \cdot 0 - 1 \cdot 2)\vec{k} = 1\vec{i} - 0\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{v}_1 = (1, 0, -2)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos implícitos es siempre perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

De igual forma, calculamos el vector director $\vec{v}_2$ de la recta $r_2$ a partir de sus planos: $r_2 \equiv \begin{cases} 1x + 2y + 0z = 4 \rightarrow \vec{n}_{21} = (1, 2, 0) \\ 1x + 0y - 1z = 3 \rightarrow \vec{n}_{22} = (1, 0, -1) \end{cases}$ $$\vec{v}_2 = \vec{n}_{21} \times \vec{n}_{22} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_2 = (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)\vec{i} - (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1)\vec{k}$$ $$\vec{v}_2 = -2\vec{i} - (-1)\vec{j} - 2\vec{k} = (-2, 1, -2)$$ $$\vec{v}_2 = (-2, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** Puedes usar cualquier vector proporcional si te resulta más cómodo para los cálculos (por ejemplo, $(2, -1, 2)$).

El plano $\pi$ que buscamos pasa por $A(0, 0, 3)$ y tiene como vectores directores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$. El vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ será el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = (0 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1)\vec{i} - (1 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-2))\vec{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-2))\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (0 + 2)\vec{i} - (-2 - 4)\vec{j} + (1 - 0)\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = 2\vec{i} + 6\vec{j} + 1\vec{k} = (2, 6, 1)$$ $$\vec{n}_\pi = (2, 6, 1)$$

La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ Sustituimos las componentes de nuestro vector normal $\vec{n}_\pi = (2, 6, 1)$: $$2x + 6y + 1z + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos al plano a pasar por el punto $A(0, 0, 3)$: $$2(0) + 6(0) + 1(3) + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$2x + 6y + z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2x + 6y + z - 3 = 0}$$