Continuidad, Extremos Relativos e Integrales Definidas

**1) [1 PUNTOS] Determine, si existe, el valor de $a$ que haga a la función continua en $x = 0$.** Para que la función sea continua en $x = 0$, deben existir los límites laterales, el valor de la función en el punto, y todos deben coincidir: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos el límite por la izquierda (rama $x < 0$): $$\lim_{x \to 0^-} \frac{\text{sen}(x)}{2x} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{(\text{sen}(x))'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{\cos(0)}{2} = \frac{1}{2}$$ Calculamos el límite por la derecha y el valor de la función (rama $x \ge 0$): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{a - x^2}{2 + x} = \frac{a - 0^2}{2 + 0} = \frac{a}{2}$$ $$f(0) = \frac{a}{2}$$ Igualamos ambos resultados: $$\frac{1}{2} = \frac{a}{2} \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el límite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x)}{x} = 1$ también permite resolver el primer límite de forma directa como $\frac{1}{2} \cdot 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**2) [1.5 PUNTOS] Calcule el valor de $a$ para que $f$ tenga un extremo relativo en $x = 2$. ¿Es este extremo un máximo o mínimo local?** El punto $x = 2$ pertenece a la segunda rama de la función ($x \ge 0$). Para que exista un extremo relativo en un punto derivable, la primera derivada debe ser nula en dicho punto: $f'(2) = 0$. Derivamos la función $f(x) = \frac{a - x^2}{2 + x}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(-2x)(2 + x) - (a - x^2)(1)}{(2 + x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-4x - 2x^2 - a + x^2}{(2 + x)^2} = \frac{-x^2 - 4x - a}{(2 + x)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso $u = a - x^2$ y $v = 2 + x$.

Imponemos la condición $f'(2) = 0$: $$\frac{-(2)^2 - 4(2) - a}{(2 + 2)^2} = 0 \implies -4 - 8 - a = 0 \implies a = -12$$ Para determinar si es un máximo o mínimo, estudiamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = 2$ con $a = -12$. La derivada queda: $$f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 12}{(2 + x)^2}$$ El denominador $(2+x)^2$ siempre es positivo en el dominio de esta rama. Analizamos el numerador $P(x) = -x^2 - 4x + 12$: **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & [0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline \text{Monotonía} & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) \end{array} $$ - Si $x=1 \in [0, 2) \implies f'(1) = \frac{-1-4+12}{9} = \frac{7}{9} > 0$. - Si $x=3 \in (2, +\infty) \implies f'(3) = \frac{-9-12+12}{25} = -\frac{9}{25} < 0$. Al pasar de creciente a decreciente, hay un **máximo local**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -12 \text{ (Máximo local)}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Sea $g(x)$ una función integrable, si $\int_0^3 g(x)dx = 4$ y $\int_2^3 g(x)dx = 6$, ¿Cuánto vale $\int_0^2 g(x)dx$ ?** Utilizamos la propiedad de aditividad del intervalo en la integral definida: $$\int_a^c g(x)dx = \int_a^b g(x)dx + \int_b^c g(x)dx$$ En nuestro caso, planteamos: $$\int_0^3 g(x)dx = \int_0^2 g(x)dx + \int_2^3 g(x)dx$$ Sustituimos los valores conocidos: $$4 = \int_0^2 g(x)dx + 6$$ Despejamos la integral pedida: $$\int_0^2 g(x)dx = 4 - 6 = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el valor de una integral definida puede ser negativo, lo cual indica que el área neta entre la función y el eje X tiene mayor peso en la parte inferior del eje. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_0^2 g(x)dx = -2}$$