Cálculo de rango y resolución de ecuación matricial con potencias

**1) [0.5 PUNTOS] Calcule, razonadamente, el rango de $M$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Al ser una matriz $3 \times 3$, empezamos calculando su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|M| = [(-1) \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-3) \cdot 0] - [0 \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-3) \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 0]$$ $$|M| = [-4 - 1 + 0] - [0 - 6 + 0] = -5 - (-6) = 1$$ Como el determinante es distinto de cero ($|M| = 1 \neq 0$), la matriz tiene el máximo rango posible. 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ es distinto de cero, su rango es exactamente $n$. $$\boxed{\text{rango}(M) = 3}$$

**2) [2 PUNTOS] Determine todos los vectores $v$ tales que $M^2 \cdot v = M^{-1} \cdot v$.** Primero, simplificamos la ecuación matricial. Como hemos visto que $|M| \neq 0$, la matriz inversa $M^{-1}$ existe. Partimos de: $$M^2 \cdot v = M^{-1} \cdot v$$ Multiplicamos por $M$ por la izquierda en ambos miembros para eliminar la inversa: $$M \cdot (M^2 \cdot v) = M \cdot (M^{-1} \cdot v)$$ $$M^3 \cdot v = (M \cdot M^{-1}) \cdot v$$ $$M^3 \cdot v = I \cdot v \implies M^3 \cdot v = v$$ Agrupando los términos en un solo lado: $$M^3 \cdot v - v = \vec{0} \implies (M^3 - I) \cdot v = \vec{0}$$ 💡 **Tip:** Operar con las propiedades de las matrices antes de sustituir los valores suele simplificar mucho los cálculos, evitando tener que calcular la matriz inversa explícitamente.

Calculamos $M^2 = M \cdot M$: $$M^2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(-1)(-1)+1(-3)+0(-1) = -2$; $(-1)(1)+1(2)+0(0) = 1$; $(-1)(0)+1(1)+0(2) = 1$ - Fila 2: $(-3)(-1)+2(-3)+1(-1) = -4$; $(-3)(1)+2(2)+1(0) = 1$; $(-3)(0)+2(1)+1(2) = 4$ - Fila 3: $(-1)(-1)+0(-3)+2(-1) = -1$; $(-1)(1)+0(2)+2(0) = -1$; $(-1)(0)+0(1)+2(2) = 4$ $$M^2 = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -4 & 1 & 4 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

Calculamos $M^3 = M^2 \cdot M$: $$M^3 = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -4 & 1 & 4 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ - Fila 1: $(-2)(-1)+1(-3)+1(-1) = -2$; $(-2)(1)+1(2)+1(0) = 0$; $(-2)(0)+1(1)+1(2) = 3$ - Fila 2: $(-4)(-1)+1(-3)+4(-1) = -3$; $(-4)(1)+1(2)+4(0) = -2$; $(-4)(0)+1(1)+4(2) = 9$ - Fila 3: $(-1)(-1)+(-1)(-3)+4(-1) = 0$; $(-1)(1)+(-1)(2)+4(0) = -3$; $(-1)(0)+(-1)(1)+4(2) = 7$ $$M^3 = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\ -3 & -2 & 9 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix}$$

Calculamos la matriz $(M^3 - I)$: $$M^3 - I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\ -3 & -2 & 9 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 3 \\ -3 & -3 & 9 \\ 0 & -3 & 6 \end{pmatrix}$$ Planteamos el sistema de ecuaciones homogéneo $(M^3 - I) \cdot v = \vec{0}$: $$\begin{pmatrix} -3 & 0 & 3 \\ -3 & -3 & 9 \\ 0 & -3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Que equivale al sistema: $$\begin{cases} -3x + 3z = 0 \\ -3x - 3y + 9z = 0 \\ -3y + 6z = 0 \end{cases}$$

Resolvemos el sistema: 1. De la primera ecuación: $-3x + 3z = 0 \implies x = z$. 2. De la tercera ecuación: $-3y + 6z = 0 \implies 3y = 6z \implies y = 2z$. 3. Comprobamos en la segunda ecuación: $-3(z) - 3(2z) + 9z = -3z - 6z + 9z = 0$. Se cumple para cualquier valor de $z$. El sistema es **Compatible Indeterminado**. Si llamamos $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, las soluciones son: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Los vectores $v$ buscados son de la forma: $$\boxed{v = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ para cualquier } \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** El vector nulo (cuando $\lambda=0$) siempre es solución de un sistema homogéneo, pero aquí nos piden *todos* los vectores posibles.