Probabilidad y Estadística 2019 Cantabria
Probabilidad de diagnóstico: Falsos positivos y negativos
Una prueba rápida para detectar una enfermedad da un $2\%$ de falsos positivos (personas sanas en las que la prueba da positivo, clasificándolas como enfermas) y un $1\%$ de falsos negativos (personas enfermas en las que la prueba da negativo, clasificándolas como sanas). En una población hay un $4\%$ de enfermos.
1) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que el test dé un resultado negativo.
2) [1 PUNTO] La prueba da un resultado positivo (clasificando a la persona como enferma). Calcule la probabilidad de que realmente esté sana.
Paso 1
Definición de sucesos y esquema de probabilidades
**1) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que el test dé un resultado negativo.**
Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $E$: La persona está enferma.
- $S$: La persona está sana (suceso contrario a $E$, $\bar{E}$).
- $+$: El resultado del test es positivo.
- $-$: El resultado del test es negativo.
Datos del enunciado:
- Prevalencia de la enfermedad: $P(E) = 4\% = 0,04 \implies P(S) = 1 - 0,04 = 0,96$.
- Falsos positivos: $P(+|S) = 2\% = 0,02 \implies P(-|S) = 0,98$.
- Falsos negativos: $P(-|E) = 1\% = 0,01 \implies P(+|E) = 0,99$.
Representamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de resultado negativo
Para calcular la probabilidad de que el test sea negativo, $P(-)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
El suceso negativo puede ocurrir por dos vías: que la persona esté enferma y el test falle (falso negativo) o que la persona esté sana y el test acierte.
$$P(-) = P(E \cap -) + P(S \cap -)$$
$$P(-) = P(E) \cdot P(-|E) + P(S) \cdot P(-|S)$$
Sustituimos los valores:
$$P(-) = (0,04 \cdot 0,01) + (0,96 \cdot 0,98)$$
$$P(-) = 0,0004 + 0,9408 = 0,9412$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que conducen a él en el árbol.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(-) = 0,9412}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**2) [1 PUNTO] La prueba da un resultado positivo (clasificando a la persona como enferma). Calcule la probabilidad de que realmente esté sana.**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: dado que el test es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona esté sana? Es decir, calculamos $P(S|+)$.
Utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(S|+) = \frac{P(S \cap +)}{P(+)} = \frac{P(S) \cdot P(+|S)}{P(+)}$$
Primero calculamos $P(+)$, que es el suceso contrario a $P(-)$ hallado anteriormente:
$$P(+) = 1 - P(-) = 1 - 0,9412 = 0,0588$$
Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (persona sana y test positivo):
$$P(S \cap +) = 0,96 \cdot 0,02 = 0,0192$$
Finalmente:
$$P(S|+) = \frac{0,0192}{0,0588} \approx 0,3265$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para 'invertir' la condicionalidad. Es muy común en problemas de tests diagnósticos para ver la fiabilidad real de un positivo.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S|+) \approx 0,3265}$$