Posiciones relativas y distancias entre recta y plano

**1) [0.5 PUNTOS] Determine $a$ para que $r$ y $\Pi$ sean ortogonales.** Para resolver problemas de posiciones relativas entre rectas y planos, lo primero es identificar sus vectores característicos: - El **vector normal al plano** $\Pi \equiv 2x + ay + z - 2 = 0$ viene dado por los coeficientes de las variables: $$\vec{n_{\Pi}} = (2, a, 1)$$ - El **vector director de la recta** $r$ se extrae directamente de su ecuación paramétrica/vectorial: $$\vec{v_r} = (2, 1, 1)$$ También observamos que un punto de la recta es el origen $P_r(0, 0, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector $(A, B, C)$ es perpendicular (normal) al plano.

Para que una recta $r$ sea **ortogonal** (perpendicular) a un plano $\Pi$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_{\Pi}}$. Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales: $$\vec{v_r} \parallel \vec{n_{\Pi}} \iff \frac{2}{2} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1}$$ De la primera y última igualdad obtenemos: $$1 = 1$$ De la igualdad central: $$1 = \frac{1}{a} \implies a = 1$$ ✅ **Resultado (ortogonalidad):** $$\boxed{a = 1}$$

**2) [2 PUNTOS] Determine $a$ para que $r$ y $\Pi$ sean paralelos. Calcule la distancia entre $r$ y $\Pi$ en este caso.** Para que la recta $r$ y el plano $\Pi$ sean **paralelos**, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_{\Pi}}$. La condición de perpendicularidad entre vectores es que su producto escalar sea cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\Pi}} = 0 \iff (2, 1, 1) \cdot (2, a, 1) = 0$$ Operamos: $$2 \cdot 2 + 1 \cdot a + 1 \cdot 1 = 0$$ $$4 + a + 1 = 0$$ $$a + 5 = 0 \implies a = -5$$ Debemos comprobar que la recta no esté contenida en el plano. Sustituimos el punto $P_r(0, 0, 0)$ en la ecuación del plano $\Pi$ con $a = -5$: $$2(0) - 5(0) + (0) = 2 \implies 0 = 2 \quad \text{(Falso)}$$ Como el punto no cumple la ecuación, la recta es **estrictamente paralela**. ✅ **Resultado (paralelismo):** $$\boxed{a = -5}$$

Cuando una recta es paralela a un plano, la distancia entre ambos es la misma que la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usaremos el punto $P_r(0, 0, 0)$ y el plano $\Pi \equiv 2x - 5y + z - 2 = 0$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d(P, \Pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, \Pi) = d(P_r, \Pi) = \frac{|2(0) - 5(0) + 1(0) - 2|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2 + 1^2}}$$ $$d(r, \Pi) = \frac{|-2|}{\sqrt{4 + 25 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{30}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \Pi) = \frac{2\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{15} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Si la recta estuviera contenida en el plano, la distancia sería $0$. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, \Pi) = \frac{\sqrt{30}}{15} \approx 0.365}$$