Cálculo de primitiva por partes e integral definida

**1) [2.5 PUNTOS] Calcule un primitiva $F(x)$ tal que $F(0) = 0$. Use la derivada para comprobar su solución.** Para hallar la primitiva de $f(x) = (x + 10)e^{2x}$, debemos resolver la integral indefinida $\int (x+10)e^{2x} \, dx$. Utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = x + 10 \implies du = dx$ - $dv = e^{2x} \, dx \implies v = \int e^{2x} \, dx = \dfrac{1}{2}e^{2x}$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Aplicamos la fórmula: $$\int (x+10)e^{2x} \, dx = (x+10) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx$$ $$\int (x+10)e^{2x} \, dx = \frac{x+10}{2}e^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2x} \right) + C$$ $$\int (x+10)e^{2x} \, dx = \frac{x+10}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$ Para simplificar la expresión, sacamos factor común $\frac{1}{4}e^{2x}$: $$F(x) = e^{2x} \left( \frac{2(x+10)}{4} - \frac{1}{4} \right) + C = \frac{2x+20-1}{4}e^{2x} + C$$ $$\boxed{F(x) = \frac{2x+19}{4}e^{2x} + C}$$

Se nos pide hallar la primitiva específica $F(x)$ que cumple la condición **$F(0) = 0$**. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión general de la primitiva: $$F(0) = \frac{2(0)+19}{4}e^{2(0)} + C = 0$$ $$\frac{19}{4}e^0 + C = 0$$ Como $e^0 = 1$: $$\frac{19}{4} + C = 0 \implies C = -\frac{19}{4}$$ Por tanto, la primitiva buscada es: ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = \frac{2x+19}{4}e^{2x} - \frac{19}{4}}$$

Para verificar que $F(x)$ es correcta, derivamos $F(x)$ y debemos obtener la función original $f(x)$. $$F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{2x+19}{4}e^{2x} - \frac{19}{4} \right]$$ Aplicamos la regla del producto para el primer término: $$F'(x) = \frac{2}{4}e^{2x} + \frac{2x+19}{4} \cdot (2e^{2x}) - 0$$ $$F'(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{2x+19}{2}e^{2x}$$ $$F'(x) = \left( \frac{1 + 2x + 19}{2} \right) e^{2x} = \frac{2x+20}{2} e^{2x}$$ $$F'(x) = (x+10)e^{2x} = f(x)$$ La derivación confirma que el resultado es correcto.

**2) [0.5 PUNTOS] Calcule $\int_0^5 f(x)dx$.** Para calcular la integral definida, aplicamos la **Regla de Barrow** utilizando la primitiva $F(x)$ hallada anteriormente. $$\int_0^5 f(x) \, dx = [F(x)]_0^5 = F(5) - F(0)$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = G(b) - G(a)$ donde $G$ es cualquier primitiva de $f$. Como ya sabemos que $F(0) = 0$, el valor de la integral es simplemente $F(5)$: $$\int_0^5 f(x) \, dx = \frac{2(5)+19}{4}e^{2(5)} - \frac{19}{4}$$ $$\int_0^5 f(x) \, dx = \frac{10+19}{4}e^{10} - \frac{19}{4} = \frac{29e^{10} - 19}{4}$$ ✅ **Resultado (Integral definida):** $$\boxed{\int_0^5 (x+10)e^{2x} \, dx = \frac{29e^{10} - 19}{4} \approx 159685.29}$$