Discusión y resolución de un sistema homogéneo

**1) [1.5 PUNTOS] Clasifique, en función del valor de $t$, el tipo de sistema.** En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema homogéneo**, lo que significa que siempre tendrá, al menos, la solución trivial $(0, 0, 0)$. Por tanto, el sistema es siempre **compatible**. Definimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} t & 1 & 1 \\ t & -1 & 1 \\ t & 0 & t \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} t & 1 & 1 \\ t & -1 & 1 \\ t & 0 & t \end{vmatrix} = (t \cdot (-1) \cdot t) + (t \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot t) - [ (1 \cdot (-1) \cdot t) + (0 \cdot 1 \cdot t) + (t \cdot 1 \cdot t) ]$$ $$|A| = (-t^2 + 0 + t) - (-t + 0 + t^2) = -t^2 + t + t - t^2 = -2t^2 + 2t$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo $AX=0$ es Determinado (solo la solución trivial) si $|A| \neq 0$ e Indeterminado (infinitas soluciones) si $|A| = 0$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $t$: $$-2t^2 + 2t = 0 \implies 2t(-t + 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$t = 0$** y **$t = 1$**. Analizamos los casos según el **Teorema de Rouché-Capelli**: * **Caso 1: $t \neq 0$ y $t \neq 1$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz $A$ es $3$, igual al número de incógnitas. $$\text{rg}(A) = 3 = n^\circ \text{ incógnitas} \implies \text{\textbf{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$ La única solución es la trivial: $(0, 0, 0)$. * **Caso 2: $t = 0$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. El determinante de la submatriz $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. $$\text{rg}(A) = 2 \lt 3 \implies \text{\textbf{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$ * **Caso 3: $t = 1$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante de la submatriz $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. $$\text{rg}(A) = 2 \lt 3 \implies \text{\textbf{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$ ✅ **Resultado (Clasificación):** $$\boxed{\begin{cases} t \neq 0, 1: \text{SCD} \\ t = 0 \text{ o } t = 1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule todas las soluciones del sistema en el caso $t = 1$.** Para $t = 1$, el sistema de ecuaciones es: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}$$ Como sabemos que el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación que sea combinación lineal de las otras. Usamos la segunda y la tercera por sencillez: 1. $x - y + z = 0$ 2. $x + z = 0$ De la ecuación (2) despejamos $x$: $$x = -z$$ Sustituimos $x = -z$ en la ecuación (1): $$(-z) - y + z = 0 \implies -y = 0 \implies y = 0$$ Para expresar las infinitas soluciones, tomamos $z$ como parámetro libre: Si hacemos **$z = \lambda$**, entonces **$x = -\lambda$** e **$y = 0$**. 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, el número de parámetros libres necesarios es $n - \text{rg}(A)$. En este caso, $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado (Soluciones):** $$\boxed{(x, y, z) = (-\lambda, 0, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$