Probabilidad y Estadística 2019 Cantabria
Probabilidad Total y Teorema de Bayes en Cadenas de Producción
Ejercicio 4
Una empresa de teléfonos tiene tres cadenas de producción para un modelo de teléfono. Cada cadena fabrica, respectivamente un $40\%$, $35\%$ y $25\%$ de la producción total. La probabilidad de que un teléfono sea defectuoso es del $5\%$, $3\%$ y $2\%$ respectivamente. Se toma un teléfono al azar.
1) [1 PUNTO] ¿Cual es la probabilidad de que el teléfono sea defectuoso?
2) [1 PUNTO] Si el teléfono es defectuoso ¿cuál es la probabilidad de que se haya fabricado en la segunda cadena?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos según la cadena de producción y el estado del teléfono:
- $C_1$: El teléfono ha sido fabricado en la cadena 1.
- $C_2$: El teléfono ha sido fabricado en la cadena 2.
- $C_3$: El teléfono ha sido fabricado en la cadena 3.
- $D$: El teléfono es defectuoso.
- $\bar{D}$: El teléfono no es defectuoso (correcto).
Las probabilidades de producción de cada cadena son:
$P(C_1) = 0.40$, $P(C_2) = 0.35$ y $P(C_3) = 0.25$.
Las probabilidades condicionadas de que sea defectuoso en cada cadena son:
$P(D|C_1) = 0.05$, $P(D|C_2) = 0.03$ y $P(D|C_3) = 0.02$.
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de teléfono defectuoso
**1) [1 PUNTO] ¿Cual es la probabilidad de que el teléfono sea defectuoso?**
Para calcular la probabilidad total de que un teléfono sea defectuoso, $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser defectuoso en cada una de las tres cadenas:
$$P(D) = P(C_1) \cdot P(D|C_1) + P(C_2) \cdot P(D|C_2) + P(C_3) \cdot P(D|C_3)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = (0.40 \cdot 0.05) + (0.35 \cdot 0.03) + (0.25 \cdot 0.02)$$
Realizamos las operaciones:
$$P(D) = 0.02 + 0.0105 + 0.005 = 0.0355$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (D) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (las distintas cadenas).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0.0355 \text{ (o } 3.55\% \text{)}}$$
Paso 3
Cálculo de probabilidad a posteriori (Bayes)
**2) [1 PUNTO] Si el teléfono es defectuoso ¿cuál es la probabilidad de que se haya fabricado en la segunda cadena?**
En este apartado nos piden la probabilidad de que el teléfono provenga de la cadena $C_2$ sabiendo que es defectuoso ($D$). Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C_2|D) = \frac{P(C_2 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(C_2) \cdot P(D|C_2)}{P(D)}$$
Utilizamos el valor de $P(D)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(C_2|D) = \frac{0.35 \cdot 0.03}{0.0355} = \frac{0.0105}{0.0355}$$
Simplificamos la expresión:
$$P(C_2|D) = \frac{105}{355} = \frac{21}{71} \approx 0.2958$$
💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bayes permite "invertir" la condicionalidad: pasamos de conocer $P(D|C_2)$ a calcular $P(C_2|D)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C_2|D) = \frac{21}{71} \approx 0.2958}$$