Ángulo entre planos y distancia entre puntos

**1) [2.25 PUNTOS] Calcule el ángulo formado por el plano que contiene a $P, Q$ y $R$ y el plano $\Pi$.** Para calcular el ángulo entre dos planos, necesitamos sus vectores normales. Empecemos determinando el vector normal del plano que contiene a los puntos $P$, $Q$ y $R$. Llamaremos a este plano $\pi_1$. Primero, obtenemos dos vectores directores del plano a partir de los puntos dados: $$\vec{PQ} = Q - P = (-1 - 0, 1 - 1, 2 - 0) = (-1, 0, 2)$$ $$\vec{PR} = R - P = (2 - 0, 0 - 1, -1 - 0) = (2, -1, -1)$$ El vector normal $\vec{n}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de estos dos vectores: $$\vec{n}_1 = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_1 = \mathbf{i}(0 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 2) + \mathbf{k}((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 2)$$ $$\vec{n}_1 = \mathbf{i}(0 + 2) - \mathbf{j}(1 - 4) + \mathbf{k}(1 - 0) = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + \mathbf{k}$$ $$\boxed{\vec{n}_1 = (2, 3, 1)}$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano es perpendicular a cualquier vector contenido en él. El producto vectorial siempre genera un vector perpendicular a los dos vectores operados.

El plano $\Pi$ viene dado en ecuaciones paramétricas: $$\Pi \equiv \begin{cases} x = 2+4t \\ y = -5t + s \\ z = -1+4s \end{cases}$$ De aquí extraemos directamente dos vectores directores siguiendo los coeficientes de los parámetros $t$ y $s$: $$\vec{u} = (4, -5, 0) \quad \text{y} \quad \vec{v} = (0, 1, 4)$$ Calculamos su vector normal $\vec{n}_2$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_2 = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_2 = \mathbf{i}(-20 - 0) - \mathbf{j}(16 - 0) + \mathbf{k}(4 - 0) = (-20, -16, 4)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $4$ para facilitar los cálculos posteriores (ya que solo nos interesa su dirección): $$\vec{n}_2 = (-5, -4, 1)$$ $$\boxed{\vec{n}_2 = (-5, -4, 1)}$$

El ángulo $\alpha$ entre dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales, definido por la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$ Calculamos los elementos necesarios: 1. Producto escalar: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (2)( -5) + (3)(-4) + (1)(1) = -10 - 12 + 1 = -21$ 2. Módulo de $\vec{n}_1$: $|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ 3. Módulo de $\vec{n}_2$: $|\vec{n}_2| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 16 + 1} = \sqrt{42}$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|-21|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} = \frac{21}{\sqrt{588}}$$ Simplificamos el denominador: $\sqrt{588} = \sqrt{14 \cdot 42} = \sqrt{14 \cdot 14 \cdot 3} = 14\sqrt{3}$. $$\cos \alpha = \frac{21}{14\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ El ángulo cuyo coseno es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ es $30^\circ$ o $\frac{\pi}{6}$ radianes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 30^\circ}$$

**2) [0.25 PUNTOS] Calcule la distancia entre $P$ y $Q$.** La distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ es el módulo del vector que los une: $$d(P, Q) = |\vec{PQ}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$ Dados $P(0, 1, 0)$ y $Q(-1, 1, 2)$, ya habíamos calculado el vector $\vec{PQ} = (-1, 0, 2)$. Calculamos su módulo: $$d(P, Q) = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$$ 💡 **Tip:** La distancia es siempre un valor no negativo. Si el resultado fuera una raíz no exacta, es preferible dejarlo expresado en forma de radical. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, Q) = \sqrt{5} \approx 2.236 \text{ unidades}}$$