Límite e integración de la función x ln(x)

**1) [1 PUNTO] Calcule $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.** Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a cero por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x)$$ Sustituyendo directamente, obtenemos la forma: $$0 \cdot (-\infty)$$ Esta es una **indeterminación** de tipo producto. Para resolverla usando la Regla de L'Hôpital, debemos transformarla en un cociente de tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$. Reescribimos la expresión bajando la $x$ al denominador como $\frac{1}{x}$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$$ Ahora, al evaluar obtenemos $\frac{-\infty}{\infty}$, por lo que podemos aplicar la Regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital permite resolver límites de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador por separado.

Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$. - Derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$. Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$$ Simplificamos la expresión algebraica antes de volver a evaluar: $$\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{x} \cdot \left(-x^2\right) = -x$$ Por tanto: $$\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0}$$

**2) [2 PUNTOS] Calcule $\int_2^e f(x)dx$.** Primero hallamos la primitiva de la función $f(x) = x \ln(x)$ utilizando el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una buena elección suele seguir la regla ALPES (Aritméticas, Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno/Coseno). Elegimos: - $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$$ $$\int x \ln(x) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x \ln(x) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4}$$ La primitiva es $F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$.

Para calcular la integral definida entre $2$ y $e$, aplicamos la Regla de Barrow: $$\int_2^e x \ln(x) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} \right]_2^e$$ Evaluamos en el límite superior ($x=e$): $$F(e) = \frac{e^2}{2} \ln(e) - \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{2} (1) - \frac{e^2}{4} = \frac{2e^2 - e^2}{4} = \frac{e^2}{4}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=2$): $$F(2) = \frac{2^2}{2} \ln(2) - \frac{2^2}{4} = 2 \ln(2) - 1$$ Restamos los valores obtenidos: $$\int_2^e x \ln(x) dx = \frac{e^2}{4} - (2 \ln(2) - 1) = \frac{e^2}{4} - 2 \ln(2) + 1$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, siendo $F(x)$ una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\int_2^e x \ln(x) dx = \frac{e^2}{4} - 2 \ln(2) + 1 \approx 1.46}$$