Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**1) [1.5 PUNTOS] Determine razonadamente si el sistema es incompatible o compatible, determinado o indeterminado en función del valor del parámetro $t$.** Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} t & 1 & -1 \\ 0 & 2t & 1 \\ -1 & t & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} t & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2t & 1 & 1 \\ -1 & t & 2 & 1 \end{array}\right)$$ El estudio de la compatibilidad se realizará comparando los rangos de ambas matrices utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** Un sistema es Compatible Determinado si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas), Compatible Indeterminado si $rg(A) = rg(A^*) \lt n$ e Incompatible si $rg(A) \neq rg(A^*)$.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} t & 1 & -1 \\ 0 & 2t & 1 \\ -1 & t & 2 \end{vmatrix} = (t \cdot 2t \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (-1 \cdot 0 \cdot t) - [(-1 \cdot 2t \cdot (-1)) + (t \cdot 1 \cdot t) + (2 \cdot 0 \cdot 1)]$$ $$|A| = 4t^2 - 1 - [2t + t^2] = 4t^2 - 1 - 2t - t^2 = 3t^2 - 2t - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $t$: $$3t^2 - 2t - 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$$ Obtenemos dos raíces: - $t_1 = \frac{6}{6} = 1$ - $t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ $$\boxed{|A| = 0 \iff t = 1, t = -\frac{1}{3}}$$

Si $t \neq 1$ y $t \neq -\frac{1}{3}$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por lo tanto, el rango de la matriz de coeficientes es $rg(A) = 3$. Al ser una matriz $3 \times 4$, el rango de la matriz ampliada también debe ser $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 3$, que coincide con el número de incógnitas $(x, y, z)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } t \neq 1 \text{ y } t \neq -\frac{1}{3}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $t = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $rg(A) \lt 3$. Sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies rg(A) = 2$. Para el rango de $A^*$, estudiamos el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 + (-1) + 0) - (0 + 1 + 0) = 1 - 1 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos independientes son cero (se puede observar que $F_3 = F_2 - F_1$), entonces $rg(A^*) = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } t = 1, rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3 \text{ (nº incógnitas). El sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $t = -\frac{1}{3}$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $rg(A) \lt 3$. Sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} -1/3 & 1 & -1 \\ 0 & -2/3 & 1 \\ -1 & -1/3 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1/3 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2/3 & 1 & 1 \\ -1 & -1/3 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $\begin{vmatrix} -1/3 & 1 \\ 0 & -2/3 \end{vmatrix} = \frac{2}{9} \neq 0 \implies rg(A) = 2$. Para el rango de $A^*$, estudiamos el determinante formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2/3 & 1 & 1 \\ -1/3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 + \frac{1}{3} + 0) - (0 + 2 + \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3} \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $rg(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } t = -\frac{1}{3}, rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3. \text{ El sistema es Incompatible (SI)}}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule todas las soluciones del sistema en el caso $t = 1$.** Para $t = 1$, hemos visto que el sistema es SCI y $rg(A) = 2$. Usamos las dos primeras ecuaciones que son linealmente independientes: $$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2y + z = 1 \end{cases}$$ Parametrizamos haciendo $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. 1. De la segunda ecuación: $$2y + \lambda = 1 \implies 2y = 1 - \lambda \implies y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda$$ 2. Sustituimos en la primera ecuación: $$x + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda\right) - \lambda = 0$$ $$x + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\lambda = 0 \implies x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\lambda$$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a $n - rg(A)$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\lambda, \quad y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda, \quad z = \lambda \quad (\forall \lambda \in \mathbb{R})}$$