Distribución Normal: Temperaturas en verano

**1) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que un día al azar se mida una temperatura de menos de $42^\circ$.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como la temperatura de la ciudad en verano. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(30, 6)$$ Donde la media es $\mu = 30$ y la desviación típica es $\sigma = 6$. Para calcular probabilidades con una normal cualquiera, debemos transformarla en una **normal estándar $Z \sim N(0, 1)$** mediante el proceso de tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 30}{6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar las tablas de la distribución normal estándar para hallar las probabilidades correspondientes.

Queremos hallar $P(X < 42)$. Procedemos a tipificar el valor $42$: $$P(X < 42) = P\left( Z < \frac{42 - 30}{6} \right) = P\left( Z < \frac{12}{6} \right) = P(Z < 2)$$ Buscamos el valor correspondientes en la tabla de la normal $N(0, 1)$ para $Z = 2,00$: $$P(Z < 2) = 0,9772$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X < 42) = 0,9772}$$ Este resultado indica que hay un **97,72%** de probabilidad de que la temperatura sea menor a $42^\circ$.

**2) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que un día al azar haga entre $25^\circ$ y $30^\circ$.** Buscamos la probabilidad $P(25 < X < 30)$. Tipificamos ambos extremos del intervalo: $$P(25 < X < 30) = P\left( \frac{25 - 30}{6} < Z < \frac{30 - 30}{6} \right)$$ $$P(25 < X < 30) = P\left( -\frac{5}{6} < Z < 0 \right) \approx P(-0,83 < Z < 0)$$ Aplicamos la propiedad de la probabilidad en un intervalo: $$P(-0,83 < Z < 0) = P(Z < 0) - P(Z < -0,83)$$ Sabemos que por simetría $P(Z < -a) = 1 - P(Z < a)$, por lo tanto: $$P(Z < -0,83) = 1 - P(Z < 0,83)$$ Consultando la tabla para $0,83$ ($0,7967$) y sabiendo que $P(Z < 0) = 0,5$: $$P(25 < X < 30) = 0,5 - [1 - 0,7967] = 0,5 - 0,2033 = 0,2967$$ 💡 **Tip:** El valor $P(Z < 0)$ siempre es $0,5$ porque la normal es simétrica respecto a su media y el área total es $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(25 < X < 30) = 0,2967}$$

A continuación se muestra la campana de Gauss centrada en $\mu=30$ con las regiones sombreadas correspondientes a los apartados resueltos.