Distancia de un punto a un plano y recta perpendicular

**1) [1.5 PUNTOS] Calcule la distancia entre $A$ y $\Pi$.** Para calcular la distancia de un punto a un plano, es conveniente obtener primero la ecuación general o implícita del plano $\Pi: Ax + By + Cz + D = 0$. El plano viene dado en forma paramétrica/vectorial por un punto $P(2, 1, 0)$ y dos vectores directores $\vec{u} = (2, 1, 0)$ y $\vec{v} = (0, 1, -1)$. El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o desarrollo por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(-1 - 0) - \vec{j}(-2 - 0) + \vec{k}(2 - 0) = -1\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}$$ Por tanto, el vector normal es $\vec{n} = (-1, 2, 2)$. 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ nos da directamente los coeficientes de la ecuación implícita del plano.

Utilizando el vector normal $\vec{n} = (-1, 2, 2)$, la ecuación del plano es de la forma: $$-x + 2y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $P(2, 1, 0)$ que pertenece al plano: $$-(2) + 2(1) + 2(0) + D = 0$$ $$-2 + 2 + 0 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación implícita del plano $\Pi$ es: $$\boxed{\Pi \equiv -x + 2y + 2z = 0}$$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto $A(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\Pi: Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(A, \Pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $A(2, 1, 3)$ y los coeficientes del plano $\Pi$: $$d(A, \Pi) = \frac{|-1(2) + 2(1) + 2(3) + 0|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2}}$$ $$d(A, \Pi) = \frac{|-2 + 2 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|6|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2$$ 💡 **Tip:** La distancia siempre es un valor absoluto (positivo), ya que representa una longitud geométrica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, \Pi) = 2 \text{ unidades}}$$

**2) [1 PUNTOS] Calcule la recta ortogonal (perpendicular) a $\Pi$ que contiene al punto $A$.** Una recta $r$ es ortogonal a un plano si su vector director $\vec{d_r}$ es paralelo al vector normal del plano $\vec{n}$. Por tanto, podemos tomar como vector director de la recta el vector normal que calculamos anteriormente: $$\vec{d_r} = \vec{n} = (-1, 2, 2)$$ Como la recta debe pasar por el punto $A(2, 1, 3)$, podemos escribir su ecuación en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ O en forma continua: $$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = (2, 1, 3) + \lambda(-1, 2, 2)}$$