Estudio completo de una función racional

**1) [2.75 PUNTOS] Estudie el dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de la función $f$.** El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 7x - 8 = 0$$ Utilizamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}$$ Las soluciones son: $$x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el denominador es cero y el numerador no, la función tiende a infinito, lo que indica la presencia de asíntotas verticales. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 8\}}$$

Analizamos los tres tipos de asíntotas: **Asíntotas Verticales (AV):** Probamos en los puntos excluidos del dominio, $x = -1$ y $x = 8$: - En $x = -1$: $\lim_{x \to -1} \frac{x+4}{x^2-7x-8} = \frac{3}{0} = \infty$. Hay una **AV en $x = -1$**. - En $x = 8$: $\lim_{x \to 8} \frac{x+4}{x^2-7x-8} = \frac{12}{0} = \infty$. Hay una **AV en $x = 8$**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 4}{x^2 - 7x - 8} = 0$$ Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, el límite es 0. Por tanto, hay una **AH en $y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal por ambos lados, no existen asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, x = 8; \quad \text{AH: } y = 0; \quad \text{AO: No hay}}$$

Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x+4)' \cdot (x^2-7x-8) - (x+4) \cdot (x^2-7x-8)'}{(x^2-7x-8)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-7x-8) - (x+4) \cdot (2x-7)}{(x^2-7x-8)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 7x - 8 - (2x^2 - 7x + 8x - 28)}{(x^2-7x-8)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 7x - 8 - 2x^2 - x + 28}{(x^2-7x-8)^2} = \frac{-x^2 - 8x + 20}{(x^2-7x-8)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ¡Cuidado con el signo menos al distribuir el paréntesis! $$\boxed{f'(x) = \frac{-(x^2 + 8x - 20)}{(x^2-7x-8)^2}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-x^2 - 8x + 20 = 0 \implies x^2 + 8x - 20 = 0$$ $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 \pm 12}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 2$ y $x_2 = -10$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ teniendo en cuenta estos puntos y las discontinuidades del dominio ($x=-1, x=8$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -10) & -10 & (-10, -1) & -1 & (-1, 2) & 2 & (2, 8) & 8 & (8, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ \text{Función} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Creciente: } & (-10, -1) \cup (-1, 2) \\ \text{Decreciente: } & (-\infty, -10) \cup (2, 8) \cup (8, +\infty) \end{aligned}}$$

Basándonos en el estudio anterior: - En $x = -10$ hay un **mínimo relativo**. - En $x = 2$ hay un **máximo relativo**. Calculamos sus ordenadas: $$f(-10) = \frac{-10 + 4}{(-10)^2 - 7(-10) - 8} = \frac{-6}{100 + 70 - 8} = \frac{-6}{162} = -\frac{1}{27}$$ $$f(2) = \frac{2 + 4}{2^2 - 7(2) - 8} = \frac{6}{4 - 14 - 8} = \frac{6}{-18} = -\frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo: } (-10, -1/27); \quad \text{Máximo: } (2, -1/3)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{x+4}{x^2-7x-8}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av1", "latex": "x=-1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "av2", "latex": "x=8", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "max", "latex": "(2, -1/3)", "color": "#16a34a", "showLabel": true }, { "id": "min", "latex": "(-10, -1/27)", "color": "#16a34a", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -15, "right": 15, "bottom": -2, "top": 2 } } }

**2) [0.25 PUNTOS] Si $g$ es una función derivable con un máximo relativo en $x = 2$, ¿Cuánto vale $g'(2)$?** De acuerdo con el **Teorema de Fermat**, si una función es derivable en un punto $a$ y tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en dicho punto, entonces su derivada en ese punto debe ser igual a cero. Dado que $g$ es derivable y tiene un máximo relativo en $x = 2$: $$g'(2) = 0$$ 💡 **Tip:** Esta es una condición necesaria para funciones derivables. Los puntos donde la derivada es cero se denominan puntos estacionarios. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{g'(2) = 0}$$