Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**1) [1.25 PUNTOS] Clasifique, en función del parámetro $a$, el sistema anterior (existencia y unicidad de soluciones).** En primer lugar, escribimos las matrices asociadas al sistema. Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a^2 & a & 1 \\ a & a & a^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a^2 & a & 1 & -1 \\ a & a & a^2 & 0 \end{array}\right)$$ Como el sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas ($x, y, z$), el rango máximo de la matriz $A$ es 2. Vamos a calcular los menores de orden 2 de la matriz $A$ para ver cuándo se anulan: $M_1 = \begin{vmatrix} a^2 & a \\ a & a \end{vmatrix} = a^3 - a^2 = a^2(a-1)$ $M_2 = \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & a^2 \end{vmatrix} = a^3 - a = a(a^2-1) = a(a-1)(a+1)$ $M_3 = \begin{vmatrix} a^2 & 1 \\ a & a^2 \end{vmatrix} = a^4 - a = a(a^3-1) = a(a-1)(a^2+a+1)$ Observamos que los tres menores se anulan simultáneamente cuando $a=0$ o $a=1$. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. En sistemas no cuadrados, el número de incógnitas determina si el sistema puede ser determinado o no.

Analizamos los casos según el valor de $a$: * **Caso $a \neq 0$ y $a \neq 1$:** Al menos uno de los menores de orden 2 es distinto de cero, por lo tanto $rg(A) = 2$. Como solo hay dos filas, $rg(A^*) = 2$ también. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3$ (nº de incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado** (existen infinitas soluciones). * **Caso $a = 0$:** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Aquí $rg(A) = 1$ (solo hay un elemento no nulo en la primera fila) y $rg(A^*) = 1$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 1 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). * **Caso $a = 1$:** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Vemos que $rg(A) = 1$ (las dos filas son iguales). Sin embargo, el menor de la ampliada con la última columna: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1 \neq 0 \implies rg(A^*) = 2$$ Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible** (no tiene solución). ✅ **Resultado (Clasificación):** $$\boxed{\begin{cases} a = 1: \text{Incompatible (No existe solución)} \\ a \neq 1: \text{Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**2) [1.25 PUNTOS] Calcule todas las soluciones en el caso $a = 2$.** Si $a = 2$, el sistema es: $$\begin{cases} 4x + 2y + z = -1 \\ 2x + 2y + 4z = 0 \end{cases}$$ Como sabemos que el rango es 2, podemos resolver el sistema en función de un parámetro. Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 2: $$x + y + 2z = 0 \implies y = -x - 2z$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$4x + 2(-x - 2z) + z = -1$$ $$4x - 2x - 4z + z = -1$$ $$2x - 3z = -1 \implies 2x = 3z - 1 \implies x = \frac{3z - 1}{2}$$ Ahora, sustituimos $x$ en la expresión de $y$: $$y = -\left(\frac{3z-1}{2}\right) - 2z = \frac{-3z+1-4z}{2} = \frac{1-7z}{2}$$ Tomando $z = \lambda$ como parámetro real: 💡 **Tip:** Cuando un sistema es compatible indeterminado con $n=3$ y $rg=2$, la solución depende de $3-2=1$ parámetro. ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = \frac{3\lambda - 1}{2}, \quad y = \frac{1 - 7\lambda}{2}, \quad z = \lambda \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$