Distribución Normal: Probabilidades y Percentiles

**a) La probabilidad de que un alumno obtenga una calificación entre 15 y 25. (1.25 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa las calificaciones de los alumnos. El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(20, 10)$$ Donde: - Media $\mu = 20$ - Desviación típica $\sigma = 10$ Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación** para pasar a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. 💡 **Tip:** La fórmula de tipificación es $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Queremos calcular $P(15 \le X \le 25)$. Aplicamos la fórmula de tipificación a los límites del intervalo: $$P(15 \le X \le 25) = P\left( \frac{15 - 20}{10} \le Z \le \frac{25 - 20}{10} \right)$$ $$P(15 \le X \le 25) = P\left( \frac{-5}{10} \le Z \le \frac{5}{10} \right) = P(-0.5 \le Z \le 0.5)$$ Para resolver esta probabilidad, usamos la propiedad del intervalo en la normal: $$P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$$ En nuestro caso: $$P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z \le -0.5)$$ Utilizando la simetría de la campana de Gauss, sabemos que $P(Z \le -0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$. Sustituimos: $$P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - [1 - P(Z \le 0.5)] = 2 \cdot P(Z \le 0.5) - 1$$ Consultamos el valor proporcionado en el enunciado: $F(0.5) = P(Z \le 0.5) = 0.6915$: $$P(15 \le X \le 25) = 2 \cdot (0.6915) - 1 = 1.383 - 1 = 0.383$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(15 \le X \le 25) = 0.383}$$

**b) La calificación que sólo superan o igualan el $20 \%$ de los alumnos. (1.25 puntos)** Buscamos un valor $k$ de la calificación tal que la probabilidad de obtener ese valor o uno superior sea del $20 \%$. Es decir: $$P(X \ge k) = 0.20$$ Como las tablas y los datos del enunciado suelen venir expresados en términos de "menor o igual", usamos el suceso contrario: $$1 - P(X \le k) = 0.20 \implies P(X \le k) = 1 - 0.20 = 0.80$$ 💡 **Tip:** El valor que deja a su derecha un $20 \%$ es el mismo que deja a su izquierda un $80 \%$ (el percentil 80).

Tipificamos la variable $X$ para poder usar los datos de la normal estándar $Z$: $$P\left( Z \le \frac{k - 20}{10} \right) = 0.80$$ Buscamos en los datos proporcionados qué valor de $z$ cumple que $P(Z \le z) = 0.8$. El enunciado nos da: $$F(0.8416) = P(Z \le 0.8416) = 0.8$$ Por lo tanto, igualamos el valor tipificado con el valor de la tabla: $$\frac{k - 20}{10} = 0.8416$$ Ahora, despejamos $k$: $$k - 20 = 0.8416 \cdot 10$$ $$k - 20 = 8.416$$ $$k = 20 + 8.416 = 28.416$$ La calificación buscada es $28.416$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 28.416}$$