Intersección de recta y plano y simetría respecto a un plano

**a) El punto $P$ intersección del plano $\pi$ y de la recta $r$. (1.25 puntos)** Para hallar el punto de intersección entre una recta y un plano, lo más sencillo es expresar la recta en ecuaciones paramétricas. La recta $r$ pasa por el punto $A(1, 1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (0, 1, 1)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 1 + 0\lambda \\ y = 1 + 1\lambda \\ z = 1 + 1\lambda \end{cases} \implies r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las ecuaciones paramétricas de una recta se obtienen como $X = P_0 + \lambda \vec{v}$, donde $P_0$ es un punto de la recta y $\vec{v}$ su vector director.

Sustituimos las expresiones de $x$, $y$ y $z$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi: x + y = 1$: $$(1) + (1 + \lambda) = 1$$ Resolvemos la ecuación para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$2 + \lambda = 1 \implies \lambda = 1 - 2 \implies \lambda = -1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas del punto $P$: $$x = 1$$ $$y = 1 + (-1) = 0$$ $$z = 1 + (-1) = 0$$ ✅ **Resultado (punto de intersección):** $$\boxed{P(1, 0, 0)}$$

**b) El punto $A'$ simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$. (1.25 puntos)** Para calcular el simétrico de un punto $A$ respecto a un plano $\pi$, debemos hallar primero la recta perpendicular al plano que pasa por $A$, luego encontrar el punto de corte $M$ (proyección ortogonal) y, finalmente, usar que $M$ es el punto medio entre $A$ y su simétrico $A'$. La ecuación del plano es $\pi: x + y - 1 = 0$. Su vector normal $\vec{n}_\pi$ viene dado por los coeficientes de las variables: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$.

Definimos una recta auxiliar $s$ que sea perpendicular al plano $\pi$ y pase por el punto $A(1, 1, 1)$. El vector director de esta recta será el vector normal del plano, $\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (1, 1, 0)$. Las ecuaciones paramétricas de $s$ son: $$s: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \end{cases}$$

El punto $M$ es la intersección de la recta $s$ y el plano $\pi$. Sustituimos las coordenadas de $s$ en la ecuación del plano $x + y = 1$: $$(1 + t) + (1 + t) = 1$$ $$2 + 2t = 1 \implies 2t = -1 \implies t = -\frac{1}{2}$$ Sustituimos $t = -\frac{1}{2}$ en las ecuaciones de $s$: $$x_M = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$y_M = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$z_M = 1$$ Por tanto, el punto medio (proyección de $A$ sobre el plano) es: $$M\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$$

Si $A'(x', y', z')$ es el punto simétrico, entonces $M$ es el punto medio del segmento $AA'$. Aplicamos la fórmula del punto medio: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$$ $$y' = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$$ $$z' = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre cumple que el vector $\vec{AA'}$ es perpendicular al plano y su punto medio pertenece al plano. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{A'(0, 0, 1)}$$