Corte de curvas, representación y área entre funciones

**a) Calcula sus puntos de corte. (0.5 puntos)** Para hallar los puntos de corte entre las funciones $f(x) = \dfrac{x^2}{2}$ y $g(x) = \dfrac{4}{x}$, igualamos ambas expresiones: $$\frac{x^2}{2} = \frac{4}{x}$$ Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores: $$x^3 = 8$$ $$x = \sqrt[3]{8} = 2$$ Para obtener la ordenada $y$, sustituimos en cualquiera de las funciones: $$y = f(2) = \frac{2^2}{2} = 2$$ 💡 **Tip:** El punto de corte es aquel donde ambas funciones comparten las mismas coordenadas $(x, y)$. En este caso, solo hay un valor real que satisface la ecuación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(2, 2)}$$

**b) Esboza una gráfica de las curvas en el intervalo $[1, 3]$. (1 punto)** Analizamos el comportamiento de ambas funciones en el intervalo dado: 1. **Parábola $f(x) = \frac{1}{2}x^2$:** Es una parábola convexa con vértice en $(0,0)$. - En $x=1, f(1) = 0.5$ - En $x=2, f(2) = 2$ - En $x=3, f(3) = 4.5$ 2. **Hipérbola $g(x) = \frac{4}{x}$:** Es una función decreciente en este intervalo. - En $x=1, g(1) = 4$ - En $x=2, g(2) = 2$ - En $x=3, g(3) = 4/3 \approx 1.33$ **Comparación de las funciones:** - En el intervalo $[1, 2]$, se observa que $g(x) \ge f(x)$ (ya que $4 > 0.5$). - En el intervalo $[2, 3]$, se observa que $f(x) \ge g(x)$ (ya que $4.5 > 1.33$). 💡 **Tip:** Identificar qué función está por encima de la otra es fundamental para plantear correctamente la integral del área en el siguiente apartado.

**c) Calcula el área que delimitan entre ellas en el intervalo $[1, 3]$. (1 punto)** El área total es la suma de las áreas en los dos subintervalos definidos por el punto de corte $x=2$: $$A = \int_1^3 |f(x) - g(x)| dx = \int_1^2 (g(x) - f(x)) dx + \int_2^3 (f(x) - g(x)) dx$$ Sustituyendo las funciones: $$A = \int_1^2 \left( \frac{4}{x} - \frac{x^2}{2} \right) dx + \int_2^3 \left( \frac{x^2}{2} - \frac{4}{x} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre es positiva. Al dividir la integral en el punto de corte, nos aseguramos de restar siempre la función inferior a la superior: $\int (y_{superior} - y_{inferior}) dx$.

Calculamos las primitivas: $$\int \frac{4}{x} dx = 4\ln|x| \qquad \text{y} \qquad \int \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^3}{6}$$ Aplicamos la regla de Barrow en cada intervalo: **Intervalo [1, 2]:** $$A_1 = \left[ 4\ln x - \frac{x^3}{6} \right]_1^2 = \left( 4\ln 2 - \frac{8}{6} \right) - \left( 4\ln 1 - \frac{1}{6} \right)$$ $$A_1 = 4\ln 2 - \frac{4}{3} - 0 + \frac{1}{6} = 4\ln 2 - \frac{7}{6}$$ **Intervalo [2, 3]:** $$A_2 = \left[ \frac{x^3}{6} - 4\ln x \right]_2^3 = \left( \frac{27}{6} - 4\ln 3 \right) - \left( \frac{8}{6} - 4\ln 2 \right)$$ $$A_2 = \frac{9}{2} - 4\ln 3 - \frac{4}{3} + 4\ln 2 = \frac{19}{6} - 4\ln 3 + 4\ln 2$$ 💡 **Tip:** $\ln(1) = 0$ siempre. Ten cuidado con los signos al restar los límites de integración.

Sumamos ambas áreas para obtener el total: $$A = A_1 + A_2 = \left( 4\ln 2 - \frac{7}{6} \right) + \left( \frac{19}{6} - 4\ln 3 + 4\ln 2 \right)$$ $$A = 8\ln 2 - 4\ln 3 + \frac{12}{6}$$ $$A = 8\ln 2 - 4\ln 3 + 2 \text{ unidades}^2$$ Podemos simplificar usando propiedades de logaritmos: $$A = \ln(2^8) - \ln(3^4) + 2 = \ln(256/81) + 2 \approx 3.148$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 8\ln 2 - 4\ln 3 + 2 \approx 3.15 \text{ u}^2}$$