Potencias de matrices e inversa

**a) Estudia para qué valores de $x$ se cumple $A^3 - I = O$ ($I$ matriz identidad y $O$ matriz nula). (1 punto)** Para resolver este apartado, debemos calcular la matriz $A^3$. Empezamos calculando $A^2$ mediante el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} x & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} x^2+0+0 & 0+0-1 & -x+0-x \\ -x+0+0 & 0+0+0 & 1+0+0 \\ 0-1+0 & 0+0+x & 0+0+x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 & -1 & -2x \\ -x & 0 & 1 \\ -1 & x & x^2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^3 = A \cdot A^2$: $$A^3 = \begin{pmatrix} x & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^2 & -1 & -2x \\ -x & 0 & 1 \\ -1 & x & x^2 \end{pmatrix}$$ $$A^3 = \begin{pmatrix} x^3+0+1 & -x+0-x & -2x^2+0-x^2 \\ -x^2+0+0 & 1+0+0 & 2x+0+0 \\ 0-x-x & 0+0+x^2 & 0+1+x^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^3+1 & -2x & -3x^2 \\ -x^2 & 1 & 2x \\ -2x & x^2 & 1+x^3 \end{pmatrix}$$

La condición $A^3 - I = O$ es equivalente a $A^3 = I$. Igualamos la matriz obtenida a la matriz identidad: $$\begin{pmatrix} x^3+1 & -2x & -3x^2 \\ -x^2 & 1 & 2x \\ -2x & x^2 & 1+x^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben serlo todos sus elementos correspondientes. Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones para $x$: 1. $x^3 + 1 = 1 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$ 2. $-2x = 0 \implies x = 0$ 3. $-3x^2 = 0 \implies x = 0$ 4. $-x^2 = 0 \implies x = 0$ 5. $2x = 0 \implies x = 0$ Como todas las ecuaciones se cumplen simultáneamente para $x = 0$, este es el único valor válido. 💡 **Tip:** No olvides comprobar que el valor de $x$ satisface todas las entradas de la matriz, no solo una. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0}$$

**b) Calcula $A^{12}$ para los valores de $x$ que verifican la condición anterior. (0.75 puntos)** Para el valor hallado $x = 0$, sabemos que se cumple la propiedad $A^3 = I$. Podemos expresar $A^{12}$ utilizando las propiedades de las potencias: $$A^{12} = (A^3)^4$$ Sustituimos $A^3$ por la matriz identidad $I$: $$A^{12} = I^4$$ Como cualquier potencia de la matriz identidad es la propia matriz identidad: $$A^{12} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si una matriz es cíclica (como $A^3=I$), cualquier potencia múltiplo del ciclo será igual a la identidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{12} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) Para $x = 0$ y sabiendo que ese valor verifica la condición del primer apartado, calcula, si existe, la inversa de $A$. (0.75 puntos)** Sabemos que para $x=0$, $A^3 = I$. Por la definición de matriz inversa, si existe una matriz $B$ tal que $A \cdot B = I$, entonces $B = A^{-1}$. Podemos reescribir la expresión: $$A \cdot A^2 = I$$ Esto implica directamente que la inversa de $A$ es $A^2$. Como ya calculamos la expresión general de $A^2$ en el primer apartado: $$A^2 = \begin{pmatrix} x^2 & -1 & -2x \\ -x & 0 & 1 \\ -1 & x & x^2 \end{pmatrix}$$ Sustituimos $x = 0$ en dicha matriz: $$A^{-1} = A^2 = \begin{pmatrix} 0^2 & -1 & -2(0) \\ -0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Para asegurar que existe, comprobamos que el determinante de $A$ para $x=0$ no es nulo: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0+0+1 - (0+0+0) = 1 \neq 0$$ 💡 **Tip:** Si tienes una relación del tipo $A^n = I$, la inversa siempre existe y es $A^{n-1}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$