Probabilidad y Estadística 2019 Asturias
Probabilidad de sucesos independientes en la elección de prendas
Alicia tiene dos cajones. En uno tiene las camisetas y en el otro las faldas. La tabla muestra el número de todas las prendas que guarda en los dos cajones agrupadas en tres tipos: lisas, dibujos o rayas.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
& \text{Lisas} & \text{Dibujos} & \text{Rayas} \\
\hline
\text{Camisetas} & 10 & 5 & 10 \\
\hline
\text{Faldas} & 5 & 15 & 5 \\
\hline
\end{array}$$
Se elige al azar una prenda de cada cajón. Calcula la probabilidad de que:
a) Las dos sean de rayas. (0.75 puntos)
b) Las dos sean del mismo tipo. (1 punto)
c) Al menos una de ellas no sea de rayas. (0.75 puntos)
Paso 1
Análisis de datos y definición de probabilidades
Primero, vamos a calcular el total de prendas en cada cajón y las probabilidades individuales para cada tipo de prenda (Lisas $L$, Dibujos $D$, Rayas $R$).
**Cajón de Camisetas ($C$):**
Total $= 10 + 5 + 10 = 25$
- $P(L_C) = \dfrac{10}{25} = 0,4$
- $P(D_C) = \dfrac{5}{25} = 0,2$
- $P(R_C) = \dfrac{10}{25} = 0,4$
**Cajón de Faldas ($F$):**
Total $= 5 + 15 + 5 = 25$
- $P(L_F) = \dfrac{5}{25} = 0,2$
- $P(D_F) = \dfrac{15}{25} = 0,6$
- $P(R_F) = \dfrac{5}{25} = 0,2$
💡 **Tip:** Puesto que se elige una prenda de cada cajón, los sucesos son **independientes**. Esto significa que el resultado de la elección de la camiseta no afecta a la probabilidad de la elección de la falda: $P(C \cap F) = P(C) \cdot P(F)$.
Paso 2
Representación mediante diagrama de árbol
Para visualizar todas las combinaciones posibles al elegir una camiseta y una falda, representamos el experimento en un árbol de probabilidad:
Paso 3
Probabilidad de que las dos sean de rayas
**a) Las dos sean de rayas. (0.75 puntos)**
Este suceso corresponde a elegir una camiseta de rayas ($R_C$) y una falda de rayas ($R_F$). Al ser sucesos independientes, multiplicamos sus probabilidades:
$$P(R_C \cap R_F) = P(R_C) \cdot P(R_F)$$
Sustituyendo los valores calculados anteriormente:
$$P(R_C \cap R_F) = 0,4 \cdot 0,2 = 0,08$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Ambas rayas}) = 0,08}$$
(Equivalente a un $8\%$).
Paso 4
Probabilidad de que sean del mismo tipo
**b) Las dos sean del mismo tipo. (1 punto)**
Para que sean del mismo tipo, ambas deben ser Lisas, o ambas con Dibujos, o ambas de Rayas. La probabilidad total es la suma de estas tres posibilidades excluyentes:
$$P(\text{Mismo tipo}) = P(L_C \cap L_F) + P(D_C \cap D_F) + P(R_C \cap R_F)$$
Calculamos cada una:
1. $P(L_C \cap L_F) = 0,4 \cdot 0,2 = 0,08$
2. $P(D_C \cap D_F) = 0,2 \cdot 0,6 = 0,12$
3. $P(R_C \cap R_F) = 0,4 \cdot 0,2 = 0,08$
Sumamos los resultados:
$$P(\text{Mismo tipo}) = 0,08 + 0,12 + 0,08 = 0,28$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Mismo tipo}) = 0,28}$$
Paso 5
Probabilidad de que al menos una no sea de rayas
**c) Al menos una de ellas no sea de rayas. (0.75 puntos)**
El suceso "al menos una no sea de rayas" es el **suceso contrario** a "las dos son de rayas".
💡 **Tip:** El suceso contrario de "Al menos uno no es A" es "Todos son A". Usar el complementario ahorra tener que sumar muchas ramas del árbol.
Utilizamos la propiedad del suceso contrario:
$$P(\text{Al menos una no } R) = 1 - P(\text{Las dos son } R)$$
Como ya calculamos en el apartado a) que $P(R_C \cap R_F) = 0,08$:
$$P(\text{Al menos una no } R) = 1 - 0,08 = 0,92$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Al menos una no rayas}) = 0,92}$$