Geometría del rombo en el espacio

**a) Calcula un vector director $\vec{v}_r$ y la ecuación de la recta $r$ a la que pertenecen los otros dos vértices del rombo $C$ y $D$. (1.5 puntos)** En un rombo, las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Los vértices opuestos proporcionados son $A(3, 1, 0)$ y $B(1, 3, 0)$. Por tanto, el segmento $AB$ es una de las diagonales. Calculamos primero el punto medio $M$ del segmento $AB$, que será también el centro del rombo: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (2, 2, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las diagonales de un rombo siempre se bisecan, lo que significa que el punto de intersección es el punto medio de ambas. $$\boxed{M(2, 2, 0)}$$

La recta $r$ contiene a la otra diagonal del rombo (formada por $C$ y $D$). Esta recta debe ser perpendicular al vector $\vec{AB}$ y pasar por $M$. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (1-3, 3-1, 0-0) = (-2, 2, 0)$$ Como el rombo está contenido en el plano $z = 0$, el vector director de la recta $r$, $\vec{v}_r = (v_1, v_2, v_3)$, debe cumplir dos condiciones: 1. Ser perpendicular a $\vec{AB}$: $\vec{v}_r \cdot \vec{AB} = 0$. 2. Estar contenido en el plano $z = 0$: su componente $v_3$ debe ser $0$. $$(v_1, v_2, 0) \cdot (-2, 2, 0) = -2v_1 + 2v_2 = 0 \implies v_1 = v_2$$ Podemos tomar, por ejemplo, $v_1 = 1$ y $v_2 = 1$. Así, un vector director es: $$\vec{v}_r = (1, 1, 0)$$ ✅ **Resultado (vector director):** $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 1, 0)}$$

Con el punto $M(2, 2, 0)$ y el vector director $\vec{v}_r(1, 1, 0)$, escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 0 \end{cases}$$ O en forma continua: $$r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-2}{1}; \quad z=0$$ ✅ **Resultado (recta r):** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = (2, 2, 0) + \lambda(1, 1, 0)}$$

**b) Determina dichos vértices $C$ y $D$ sabiendo que están a una distancia de $\sqrt{2}$ unidades del punto medio $M$. (1 punto)** Cualquier punto $P$ de la recta $r$ tiene la forma $P(2+\lambda, 2+\lambda, 0)$. Queremos hallar los valores de $\lambda$ tales que la distancia $d(P, M) = \sqrt{2}$. $$d(P, M) = \sqrt{((2+\lambda) - 2)^2 + ((2+\lambda) - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2}$$ $$\sqrt{\lambda^2 + \lambda^2} = \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2\lambda^2} = \sqrt{2}$$ $$2\lambda^2 = 2 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$$ Calculamos los puntos para cada valor de $\lambda$: - Para **$\lambda = 1$**: $$C = (2+1, 2+1, 0) = (3, 3, 0)$$ - Para **$\lambda = -1$**: $$D = (2-1, 2-1, 0) = (1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El parámetro $\lambda$ representa cuántas veces sumamos el vector director desde el punto base. Como el vector $(1,1,0)$ tiene módulo $\sqrt{2}$, era de esperar que $\lambda$ fuera $1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C(3, 3, 0), \quad D(1, 1, 0)}$$