Estudio de función racional con exponencial

**a) Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas. (1 punto)** El dominio de una función racional o con denominador viene determinado por los valores que no anulan dicho denominador. En este caso, la función exponencial $e^{-x}$ está definida para todo $\mathbb{R}$, por lo que solo debemos preocuparnos por el divisor: $$x + 1 = 0 \implies x = -1$$ Por tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales excepto el $-1$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

Para buscar asíntotas verticales (AV), calculamos el límite de la función en los puntos donde no está definida, es decir, en $x = -1$: - Por la izquierda: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{e^{-x}}{x + 1} = \frac{e^{-(-1)}}{(-1^-) + 1} = \frac{e}{-0} = -\infty$$ - Por la derecha: $$\lim_{x \to -1^+} \frac{e^{-x}}{x + 1} = \frac{e^{-(-1)}}{(-1^+) + 1} = \frac{e}{+0} = +\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -1}$$

Buscamos asíntotas horizontales (AH) analizando el comportamiento en el infinito: - En $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x}}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x(x + 1)} = \frac{1}{+\infty} = 0$$ Existe una AH en **$y = 0$** cuando $x \to +\infty$. - En $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{x + 1}$$ Si hacemos el cambio $x = -t$, cuando $x \to -\infty$, $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{e^{t}}{-t + 1} = \frac{+\infty}{-\infty}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{(e^t)'}{(-t+1)'} = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{-1} = -\infty$$ No hay AH en $-\infty$. **Asíntotas oblicuas (AO):** Solo buscamos en $-\infty$ (ya que en $+\infty$ hay AH): $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{x(x+1)} = \dots = +\infty$$ Como $m$ es infinito, no existe AO. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, \quad \text{AH: } y = 0 \text{ (solo para } x \to +\infty\text{)}, \quad \text{AO: No hay}}$$

**b) Halla, si existen: máximos y mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)** Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{e^{-x}}{x + 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(e^{-x})' \cdot (x + 1) - e^{-x} \cdot (x + 1)'}{(x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-e^{-x} \cdot (x + 1) - e^{-x} \cdot 1}{(x + 1)^2}$$ Factorizamos $e^{-x}$: $$f'(x) = \frac{e^{-x} (-x - 1 - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{e^{-x} (-x - 2)}{(x + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(e^u)' = u' e^u$ y $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ✅ **Resultado (Derivada):** $$\boxed{f'(x) = \frac{-e^{-x}(x + 2)}{(x + 1)^2}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -e^{-x}(x + 2) = 0$$ Como $e^{-x} \neq 0$ siempre, entonces: $$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico ($x = -2$) y el punto de discontinuidad ($x = -1$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - \\ f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $f'(x) \gt 0$ en $(-\infty, -2)$. - **Decrecimiento:** $f'(x) \lt 0$ en $(-2, -1) \cup (-1, +\infty)$. **Máximo relativo:** Ocurre en $x = -2$. Calculamos su ordenada: $$f(-2) = \frac{e^{-(-2)}}{-2 + 1} = \frac{e^2}{-1} = -e^2 \approx -7.389$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\infty, -2) \\ &\text{Decrecimiento: } (-2, -1) \cup (-1, +\infty) \\ &\text{Máximo relativo en } (-2, -e^2) \end{aligned}}$$

**c) Haz un esbozo de su gráfica. (0.5 puntos)** Para el esbozo, unimos toda la información: 1. Dominio $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. 2. Asíntota vertical en $x = -1$ (tiende a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha). 3. Asíntota horizontal $y = 0$ por la derecha. 4. Un máximo relativo en $(-2, -e^2)$. 5. La función siempre es negativa para $x \lt -1$ (ya que $e^{-x} \gt 0$ y $x+1 \lt 0$). 6. La función siempre es positiva para $x \gt -1$. Aquí tienes la representación gráfica: