Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de $a \in \mathbb{R}$. (1.5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a - 1 & a \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & a \\ 1 & a - 1 & a & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que debemos calcular el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a - 1 & a \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (a-1) \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot a] - [(-1) \cdot (a-1) \cdot a + 0 \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [a - 1 - a + 0] - [-a^2 + a + 0 + 1]$$ $$|A| = -1 + a^2 - a - 1 = a^2 - a - 2$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $a$: $$a^2 - a - 2 = 0 \implies a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos valores: **$a_1 = 2$** y **$a_2 = -1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es siempre Compatible Determinado.

Analizamos los diferentes casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 2$ y $a \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto: $$\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n^{\circ} \text{ de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene solución única. **Caso 2: $a = -1$** La matriz $A$ es $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Como $|A|=0$, el $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el $\text{rango}(A^*)$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (-4 - 2 + 0) - (2 + 0 + 2) = -6 - 4 = -10 \neq 0$$ Como este determinante de orden 3 es distinto de cero, el $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**Caso 3: $a = 2$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$. Observamos que las filas 1 y 2 son idénticas. Por tanto, cualquier menor de orden 3 que las incluya será 0. El menor de $A$ de orden 2: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ nos dice que $\text{rango}(A) = 2$. Al ser la fila 2 igual a la fila 1 en toda la matriz ampliada, el $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} & \text{S. Compatible Determinado} \\ a = -1 & \text{S. Incompatible} \\ a = 2 & \text{S. Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, para el caso $a = 2$. (1 punto)** Como hemos visto, para $a = 2$ el sistema es Compatible Indeterminado. La primera y segunda ecuación son iguales ($x+y+2z=2$), por lo que podemos eliminar una de ellas. El sistema queda: $$ \begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ -x + z = 2 \end{cases} $$ Tomamos $x = \lambda$ como parámetro (ya que el rango es 2, necesitamos $3-2=1$ parámetro). De la segunda ecuación despejamos $z$: $$z = 2 + x \implies z = 2 + \lambda$$ Sustituimos en la primera ecuación para despejar $y$: $$\lambda + y + 2(2 + \lambda) = 2$$ $$\lambda + y + 4 + 2\lambda = 2$$ $$y = 2 - 4 - 3\lambda = -2 - 3\lambda$$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado, siempre debes expresar la solución general en función de uno o más parámetros (normalmente $\lambda$, $\mu$...). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Solución para } a=2: \begin{cases} x = \lambda \\ y = -2 - 3\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$