Probabilidad y Estadística 2019 Asturias
Probabilidad: Aciertos en el tiro con dardos
Pedro y Luis son aficionados a los dardos. Pedro acierta en el centro el $10 \%$ de las veces y cada vez que acierta gana $400 €$. Luis acierta en el centro el $20 \%$ de las veces y cada vez que acierta gana $100 €$. Cuando fallan no ganan ni pierden nada. Tira cada uno dos dardos. Calcula las siguientes probabilidades:
a) Que Luis acierte en el centro las dos veces. (0.75 puntos)
b) Que Pedro acierte en el centro una sola vez. (1 punto)
c) Que entre los dos hayan ganado $600 €$. (0.75 puntos)
Paso 1
Definición de eventos y diagrama de árbol
**a) Que Luis acierte en el centro las dos veces. (0.75 puntos)**
Primero, definimos los sucesos y sus probabilidades para cada jugador. Llamamos $A$ al suceso "acertar en el centro" y $F$ al suceso "fallar":
- **Pedro:** $P(A_P) = 0.10$ y $P(F_P) = 0.90$.
- **Luis:** $P(A_L) = 0.20$ y $P(F_L) = 0.80$.
Como cada uno lanza dos dardos y los lanzamientos son independientes, podemos representar la situación de un jugador (por ejemplo, Luis) mediante un árbol de probabilidad:
Para que Luis acierte las dos veces, debe ocurrir el suceso $(A_L \cap A_L)$:
$$P(A_{L1} \cap A_{L2}) = P(A_{L1}) \cdot P(A_{L2}) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04$$
💡 **Tip:** Cuando los sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Luis acierta dos veces}) = 0.04}$$
Paso 2
Probabilidad de un solo acierto para Pedro
**b) Que Pedro acierte en el centro una sola vez. (1 punto)**
Pedro lanza dos dardos. Acertar "una sola vez" significa que acierta el primero y falla el segundo, **o** falla el primero y acierta el segundo. Estos son sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes).
Calculamos la probabilidad sumando ambas posibilidades:
$$P(\text{Pedro acierta 1}) = P(A_P \cap F_P) + P(F_P \cap A_P)$$
Utilizando las probabilidades de Pedro ($P(A_P)=0.1$ y $P(F_P)=0.9$):
$$P(\text{Pedro acierta 1}) = (0.1 \cdot 0.9) + (0.9 \cdot 0.1)$$
$$P(\text{Pedro acierta 1}) = 0.09 + 0.09 = 0.18$$
💡 **Tip:** En una distribución binomial $B(n, p)$, esto equivale a calcular $P(X=1)$ con $n=2$ y $p=0.1$. La fórmula sería $\binom{2}{1} \cdot 0.1^1 \cdot 0.9^1 = 2 \cdot 0.09 = 0.18$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Pedro acierta una vez}) = 0.18}$$
Paso 3
Probabilidad de ganar un total de 600 €
**c) Que entre los dos hayan ganado $600 €$. (0.75 puntos)**
Analizamos las posibles ganancias según los aciertos de cada uno:
- Pedro gana $400 €$ por acierto. Sus posibles ganancias totales son: $0 €$ (0 aciertos), $400 €$ (1 acierto) u $800 €$ (2 aciertos).
- Luis gana $100 €$ por acierto. Sus posibles ganancias totales son: $0 €$ (0 aciertos), $100 €$ (1 acierto) o $200 €$ (2 aciertos).
Buscamos las combinaciones que sumen exactamente $600 €$:
1. Pedro gana $0 €$ y Luis gana $600 €$: **Imposible** (Luis solo puede ganar hasta $200 €$).
2. Pedro gana $400 €$ (1 acierto) y Luis gana $200 €$ (2 aciertos): **Posible** ($400 + 200 = 600$).
3. Pedro gana $800 €$ (2 aciertos) y Luis pierde $200 €$: **Imposible** (no se pierde dinero).
Por tanto, el único caso es que Pedro acierte 1 vez **y** Luis acierte 2 veces. Como sus lanzamientos son independientes entre sí:
$$P(\text{Ganar } 600 €) = P(\text{Pedro acierta 1}) \cdot P(\text{Luis acierta 2})$$
Usamos los resultados de los apartados anteriores:
- Del apartado b): $P(\text{Pedro acierta 1}) = 0.18$
- Del apartado a): $P(\text{Luis acierta 2}) = 0.04$
Realizamos la operación:
$$P(\text{Ganar } 600 €) = 0.18 \cdot 0.04 = 0.0072$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Ganancia total } 600 €) = 0.0072}$$