Simetría respecto a un plano y división de un segmento

**a) La ecuación del plano $\pi$ que hace que los puntos $A$ y $B$ sean simétricos respecto a él. (1.5 puntos)** Si los puntos $A$ y $B$ son simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano debe ser el **plano mediador** del segmento $AB$. Esto implica dos condiciones geométricas fundamentales: 1. El vector $\vec{AB}$ es un vector normal al plano (perpendicular a él). 2. El plano pasa por el punto medio del segmento $AB$, al que llamaremos $M$. 💡 **Tip:** Imagina el plano como un espejo. Para que $A$ y $B$ se reflejen perfectamente, el espejo debe estar justo en medio y orientado perpendicularmente a la línea que los une.

Primero, calculamos el vector $\vec{AB}$ que servirá como vector normal $\vec{n_\pi}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} = B - A = (1 - 1, -1 - 1, -1 - 1) = (0, -2, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: $$\vec{n} = (0, 1, 1)$$ Ahora, calculamos el punto medio $M$ del segmento $AB$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{1 - 1}{2}, \frac{1 - 1}{2} \right) = (1, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto medio se obtiene sumando las coordenadas de los extremos y dividiendo entre dos: $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Utilizando el vector normal $\vec{n} = (0, 1, 1)$, tenemos: $$0 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z + D = 0 \implies y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto medio $M(1, 0, 0)$: $$0 + 0 + D = 0 \implies D = 0$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{y + z = 0}$$

**b) Los puntos $C$ y $D$ que dividen el segmento $AB$ en tres partes iguales. (1 punto)** Para dividir el segmento $AB$ en tres partes iguales, buscamos dos puntos $C$ y $D$ tales que: $$\vec{AC} = \frac{1}{3} \vec{AB} \quad \text{y} \quad \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{AB}$$ Ya conocemos el vector $\vec{AB}$ del apartado anterior: $$\vec{AB} = (0, -2, -2)$$ Calculamos el vector que representa un tercio del camino: $$\vec{v} = \frac{1}{3} \vec{AB} = \left( 0, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right)$$ 💡 **Tip:** Los puntos de división se pueden hallar sumando fracciones del vector director al punto inicial.

Hallamos el primer punto $C$ sumando $\vec{v}$ al punto $A$: $$C = A + \vec{v} = (1, 1, 1) + \left( 0, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) = \left( 1+0, 1-\frac{2}{3}, 1-\frac{2}{3} \right)$$ $$C = \left( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$$ Hallamos el segundo punto $D$ sumando $\vec{v}$ al punto $C$ (o sumando $2\vec{v}$ al punto $A$): $$D = C + \vec{v} = \left( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) + \left( 0, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) = \left( 1, \frac{1-2}{3}, \frac{1-2}{3} \right)$$ $$D = \left( 1, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3} \right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C \left( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right), \quad D \left( 1, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3} \right)}$$