Pendiente de la recta tangente y su valor máximo

**a) Expresa la función $m(x)$ que da la pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto $x$. (1 punto)** Recordamos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función $f(x)$ en un punto $x$ viene dada por el valor de su derivada en dicho punto, es decir, $m(x) = f'(x)$. Dada la función: $$f(x) = \frac{1}{3 + x^2} = (3 + x^2)^{-1}$$ Derivamos aplicando la regla de la cadena: $$f'(x) = -1 \cdot (3 + x^2)^{-2} \cdot (2x)$$ $$f'(x) = \frac{-2x}{(3 + x^2)^2}$$ Por tanto, la función pendiente $m(x)$ es: $$\boxed{m(x) = \frac{-2x}{(3 + x^2)^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una función del tipo $\frac{1}{u}$ puedes usar la fórmula $-\frac{u'}{u^2}$ directamente.

**b) Calcula el valor $x$ donde se alcanza la máxima pendiente. (1.5 puntos)** Para encontrar el valor de $x$ donde se alcanza la máxima pendiente, debemos maximizar la función $m(x)$ obtenida en el apartado anterior. Para ello, calculamos su derivada $m'(x)$ e igualamos a cero para hallar los puntos críticos. Derivamos $m(x) = \frac{-2x}{(3 + x^2)^2}$ usando la regla del cociente: $$m'(x) = \frac{(-2) \cdot (3 + x^2)^2 - (-2x) \cdot 2(3 + x^2) \cdot (2x)}{(3 + x^2)^4}$$ Simplificamos el numerador extrayendo factor común $(3 + x^2)$: $$m'(x) = \frac{(3 + x^2) \left[ -2(3 + x^2) + 8x^2 \right]}{(3 + x^2)^4}$$ $$m'(x) = \frac{-6 - 2x^2 + 8x^2}{(3 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 6}{(3 + x^2)^3}$$ 💡 **Tip:** Al derivar cocientes donde el denominador está elevado a una potencia, siempre es útil intentar simplificar un factor del denominador antes de operar totalmente el numerador.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los candidatos a máximo: $$m'(x) = 0 \implies 6x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Para determinar cuál es el máximo, estudiamos el signo de $m'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos. Nótese que el denominador $(3+x^2)^3$ siempre es positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline m'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ m(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Análisis de los resultados: - En $x = -1$, la función $m(x)$ pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $x = 1$, la función $m(x)$ pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Además, observamos que $\lim_{x \to \pm \infty} m(x) = 0$. Evaluamos el valor de la pendiente en el máximo: $$m(-1) = \frac{-2(-1)}{(3 + (-1)^2)^2} = \frac{2}{4^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} > 0$$ Como el valor en el máximo relativo ($1/8$) es mayor que los límites en el infinito ($0$), se trata del máximo absoluto de la pendiente.

El valor de $x$ donde la pendiente de la recta tangente es máxima es $x = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1}$$ Podemos visualizar la función original $f(x)$ y su función pendiente $m(x)$ en el siguiente gráfico interactivo: