Análisis de productos e inversión de matrices

**a) Razona, sin hacerlos, si son posibles los siguientes productos matriciales y, si es el caso, indica las dimensiones de las matrices resultantes. (1 punto)** Para que el producto de dos matrices $M \cdot N$ sea posible, el número de **columnas** de la primera matriz ($M$) debe coincidir con el número de **filas** de la segunda matriz ($N$). Identificamos primero las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ es una matriz de dimensión $3 \times 3$. - $B$ es una matriz de dimensión $3 \times 2$. - $C$ es una matriz columna de dimensión $3 \times 1$. - $D$ es una matriz fila de dimensión $1 \times 3$. 💡 **Tip:** Si $M$ es $m \times n$ y $N$ es $n \times p$, la matriz resultante $M \cdot N$ tendrá dimensiones $m \times p$.

Analizamos los dos primeros productos propuestos: 1. **Producto $A \cdot A$**: - Dimensión de $A$: $3 \times \mathbf{3}$. - Dimensión de $A$: $\mathbf{3} \times 3$. Como el número de columnas de la primera (3) es igual al de filas de la segunda (3), el producto **es posible**. La dimensión resultante será **$3 \times 3$**. 2. **Producto $A \cdot B$**: - Dimensión de $A$: $3 \times \mathbf{3}$. - Dimensión de $B$: $\mathbf{3} \times 2$. Como $3 = 3$, el producto **es posible**. La dimensión resultante será **$3 \times 2$**. ✅ **Resultados parciales:** - $A \cdot A$: Posible, dimensión $\boxed{3 \times 3}$ - $A \cdot B$: Posible, dimensión $\boxed{3 \times 2}$

Analizamos los productos restantes: 3. **Producto $A \cdot B \cdot C$**: - Ya sabemos que $(A \cdot B)$ tiene dimensión $3 \times \mathbf{2}$. - Dimensión de $C$: $\mathbf{3} \times 1$. Como el número de columnas de $(A \cdot B)$, que es **2**, no coincide con el número de filas de $C$, que es **3**, el producto **no es posible**. 4. **Producto $C \cdot D$**: - Dimensión de $C$: $3 \times \mathbf{1}$. - Dimensión de $D$: $\mathbf{1} \times 3$. Como $1 = 1$, el producto **es posible**. La dimensión resultante será **$3 \times 3$**. ✅ **Resultados parciales:** - $A \cdot B \cdot C$: $\boxed{\text{No es posible}}$ - $C \cdot D$: Posible, dimensión $\boxed{3 \times 3}$

**b) Calcula las inversas, si existen, de las matrices cuadradas posibles del apartado anterior. (1.5 puntos)** Del apartado anterior, las matrices resultantes que son **cuadradas** (mismo número de filas que de columnas) son: 1. $A \cdot A$ (dimensión $3 \times 3$) 2. $C \cdot D$ (dimensión $3 \times 3$) Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|M| \neq 0$). 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o regular) si y solo si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, se dice que la matriz es singular.

Primero calculamos la matriz producto $M = A \cdot A$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 0 + 0 = 1$$ Como $|M| = 1 \neq 0$, la matriz **tiene inversa**. Calculamos la matriz de adjuntos $(\text{Adj}(M))$: - $C_{11} = 1, C_{12} = -3, C_{13} = -3$ - $C_{21} = 0, C_{22} = 1, C_{23} = 0$ - $C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 1$ La matriz adjunta (traspuesta de la de cofactores) es: $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A \cdot A)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos la matriz producto $N = C \cdot D$: $$N = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $N$: $$|N| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Observamos que la segunda columna es completamente nula. Por las propiedades de los determinantes, si una fila o columna es cero, el determinante es cero: $$|N| = 0$$ También se observa que la fila 1 y la fila 3 son iguales ($F_1 = F_3$), lo que también garantiza que el determinante sea nulo. Al ser el determinante igual a cero, la matriz $C \cdot D$ no tiene inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } C \cdot D \text{ no tiene inversa}}$$