Probabilidad de fallos en lanzamientos de tenis

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 20 bolas lanzadas, se tengan exactamente 5 fallos? (1.25 puntos)** En primer lugar, identificamos que estamos ante un experimento de Bernoulli repetido varias veces de forma independiente (cada lanzamiento). Definimos la variable aleatoria: $X =$ "Número de lanzamientos fallidos de un total de $20$ lanzamientos". Las características de este experimento son: - El número de ensayos es fijo: $n = 20$. - Cada ensayo tiene dos resultados posibles: falla (éxito en nuestro estudio) o no falla (fracaso). - La probabilidad de fallo es constante: $p = 10\% = 0.1$. - La probabilidad de no fallo es: $q = 1 - p = 0.9$. Por tanto, la variable $X$ sigue una **distribución binomial**: $X \sim B(20, \, 0.1)$. 💡 **Tip:** La fórmula general de la probabilidad binomial para obtener exactamente $k$ éxitos es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Para calcular la probabilidad de tener exactamente $5$ fallos, aplicamos la fórmula de la binomial con $k = 5$: $$P(X = 5) = \binom{20}{5} \cdot (0.1)^5 \cdot (0.9)^{20-5}$$ Sustituyendo el valor del número combinatorio: $$\binom{20}{5} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504$$ Siguiendo la indicación de la nota del enunciado, podemos dejar la expresión indicada en potencias: ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(X = 5) = \binom{20}{5} \cdot (0.1)^5 \cdot (0.9)^{15}}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho falle 2 veces de los 20 lanzamientos? (1.25 puntos)** La expresión "como mucho 2 veces" significa que el número de fallos puede ser $0$, $1$ o $2$. Matemáticamente esto se expresa como $P(X \le 2)$. Para calcularlo, debemos sumar las probabilidades individuales: $$P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$ Calculamos cada término utilizando la fórmula binomial: - Para $k=0$: $P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{20}$ - Para $k=1$: $P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{19} = 20 \cdot 0.1 \cdot (0.9)^{19}$ - Para $k=2$: $P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{18} = 190 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{18}$

Sumamos las expresiones obtenidas en el paso anterior para dar el resultado final: $$P(X \le 2) = (0.9)^{20} + 20 \cdot (0.1) \cdot (0.9)^{19} + 190 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{18}$$ Siguiendo la nota del enunciado, dejamos la operación indicada. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(X \le 2) = (0.9)^{20} + 2 \cdot (0.9)^{19} + 1.9 \cdot (0.9)^{18}}$$ *(Nota: Se ha simplificado $20 \cdot 0.1 = 2$ y $190 \cdot 0.01 = 1.9$ para mayor claridad en las potencias)*