Intersección de planos y distancias en el espacio

**a) La ecuación del plano $\pi_2$ sabiendo que $A(1, 1, 1) \in \pi_2$. (1.25 puntos)** Dado que la recta $r$ es la intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$, el plano $\pi_2$ debe pertenecer al **haz de planos** definido por la recta $r$. La recta $r$ viene dada por la intersección de las superficies: 1) $x+y+z=0$ (que es el plano $\pi_1$) 2) $x+z=0$ Cualquier plano que contenga a la recta $r$ tiene una ecuación de la forma: $$\alpha(x+y+z) + \beta(x+z) = 0$$ 💡 **Tip:** El haz de planos que pasa por una recta $r:\begin{cases} \pi: Ax+By+Cz+D=0 \\ \sigma: A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{cases}$ se escribe como $\alpha \pi + \beta \sigma = 0$.

Como sabemos que el punto $A(1,1,1)$ pertenece al plano $\pi_2$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación del haz para encontrar la relación entre $\alpha$ y $\beta$: $$\alpha(1+1+1) + \beta(1+1) = 0$$ $$3\alpha + 2\beta = 0$$ De aquí podemos elegir valores para $\alpha$ y $\beta$ que cumplan la igualdad. Por ejemplo, tomamos $\alpha = 2$ y $\beta = -3$. Sustituimos estos valores en la ecuación del haz: $$2(x+y+z) - 3(x+z) = 0$$ $$2x + 2y + 2z - 3x - 3z = 0$$ $$-x + 2y - z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más sencilla: $$\boxed{x - 2y + z = 0}$$

**b) La ecuación de un plano $\pi'_1$ paralelo a $\pi_1$ y que esté a una distancia de $\sqrt{3}$ unidades de la recta $r$. (1.25 puntos)** Un plano $\pi'_1$ paralelo a $\pi_1: x+y+z=0$ tendrá el mismo vector normal $\vec{n} = (1,1,1)$. Por lo tanto, su ecuación general es: $$\pi'_1: x+y+z+D=0$$ Como $\pi_1$ contiene a la recta $r$ y $\pi'_1$ es paralelo a $\pi_1$, la recta $r$ es paralela al plano $\pi'_1$. En este caso, la distancia de la recta al plano es la misma que la distancia de **cualquier punto** de la recta al plano. 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, la distancia se calcula tomando un punto arbitrario $P \in r$ y aplicando la fórmula de distancia punto-plano: $d(r, \pi') = d(P, \pi')$.

Necesitamos un punto $P$ que pertenezca a la recta $r: \begin{cases} x+y+z=0 \\ x+z=0 \end{cases}$. Si despejamos el sistema, vemos que: De $x+z=0 \implies z = -x$. Sustituyendo en la primera: $x + y + (-x) = 0 \implies y = 0$. Si damos el valor $x=0$, obtenemos $z=0$. Por tanto, el punto más sencillo de la recta es el origen de coordenadas: $$P(0, 0, 0) \in r$$

Aplicamos la fórmula de la distancia del punto $P(0,0,0)$ al plano $\pi'_1: x+y+z+D=0$: $$d(P, \pi'_1) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$\sqrt{3} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + D|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$$ $$\sqrt{3} = \frac{|D|}{\sqrt{3}}$$ Multiplicamos en cruz: $$|D| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$$ Esto nos da dos posibles valores para $D$: $$D = 3 \quad \text{o} \quad D = -3$$ ✅ **Resultado:** Como el enunciado pide "la ecuación de un plano", podemos dar cualquiera de las dos soluciones: $$\boxed{x+y+z+3=0} \quad \text{ó} \quad \boxed{x+y+z-3=0}$$