Estudio de asíntotas e integración por cambio de variable

**a) Calcula su dominio de definición y sus asíntotas. (1 punto)** Para calcular el dominio de la función $f(x) = \frac{2}{2 + e^x}$, debemos identificar los valores de $x$ que anulan el denominador. Planteamos la ecuación: $$2 + e^x = 0 \implies e^x = -2$$ Sabemos que la función exponencial $e^x$ siempre toma valores positivos para cualquier $x \in \mathbb{R}$ ($e^x \gt 0$). Por lo tanto, la ecuación $e^x = -2$ no tiene solución real. Como el denominador nunca se anula y la función exponencial es continua en todo su dominio, concluimos que: 💡 **Tip:** El dominio de una función racional es todo $\mathbb{R}$ menos los puntos que anulan el denominador. Si el denominador es una suma de términos positivos, nunca será cero. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida (donde el denominador se anula). Como hemos comprobado en el paso anterior que $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, la función es continua en todo el conjunto de los números reales. Por tanto, **no existen asíntotas verticales**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay asíntotas verticales}}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites de la función cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. **1. Límite cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{2 + e^x} = \frac{2}{2 + \infty} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ Esto indica que hay una asíntota horizontal en **$y = 0$** por la derecha. **2. Límite cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{2 + e^x} = \frac{2}{2 + e^{-\infty}} = \frac{2}{2 + 0} = \frac{2}{2} = 1$$ Recordemos que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Esto indica que hay una asíntota horizontal en **$y = 1$** por la izquierda. 💡 **Tip:** Una función puede tener hasta dos asíntotas horizontales distintas (una para cada sentido del infinito). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AH: } y = 0 \text{ (si } x \to +\infty) \text{ e } y = 1 \text{ (si } x \to -\infty)}$$ Como existen asíntotas horizontales en ambos sentidos, **no hay asíntotas oblicuas**.

**b) Mediante el cambio de variable $t = e^x$, calcula $$ \int \frac{2}{2 + e^x} dx $$ (1.5 puntos)** Realizamos el cambio sugerido: $$t = e^x$$ Derivamos para obtener la relación entre los diferenciales: $$dt = e^x \, dx \implies dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$$ Sustituimos en la integral original: $$I = \int \frac{2}{2 + t} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{2}{t(t + 2)} \, dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable, no olvides sustituir también el diferencial $dx$ por su expresión en términos de $dt$.

La integral resultante es una integral racional. Descomponemos el integrando en fracciones simples: $$\frac{2}{t(t + 2)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 2}$$ Multiplicamos por el denominador común $t(t+2)$ para hallar $A$ y $B$: $$2 = A(t + 2) + Bt$$ - Si $t = 0$: $2 = A(2) \implies A = 1$. - Si $t = -2$: $2 = B(-2) \implies B = -1$. Por tanto, la integral se separa en: $$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 2} \right) dt$$ Calculamos las integrales inmediatas: $$I = \ln|t| - \ln|t + 2| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos: $$I = \ln \left| \frac{t}{t + 2} \right| + C$$

Finalmente, deshacemos el cambio de variable sustituyendo $t = e^x$: $$I = \ln \left| \frac{e^x}{e^x + 2} \right| + C$$ Como $e^x$ y $e^x+2$ son siempre positivos, podemos prescindir de los valores absolutos. Además, aplicando la propiedad $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$: $$I = \ln(e^x) - \ln(e^x + 2) + C = x - \ln(e^x + 2) + C$$ Cualquiera de las dos formas es correcta, pero la simplificada suele ser preferible. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{2}{2 + e^x} dx = x - \ln(e^x + 2) + C}$$