Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de $m$. (1.25 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & -1 \\ 2 & m & 0 \\ 1 & 0 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 1 & -1 & 0 \\ 2 & m & 0 & m \\ 1 & 0 & m & m \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & -1 \\ 2 & m & 0 \\ 1 & 0 & m \end{vmatrix} = (m \cdot m \cdot m) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (-1) \cdot 2 \cdot 0 - [1 \cdot m \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \cdot m + m \cdot 2 \cdot 1]$$ $$|A| = m^3 - [-m + 2m] = m^3 - m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$m^3 - m = 0 \implies m(m^2 - 1) = 0 \implies m(m-1)(m+1) = 0$$ Los valores que anulan el determinante son **$m = 0$, $m = 1$ y $m = -1$**.

Si $m \neq 0, m \neq 1$ y $m \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre tendrá una única solución.

Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Observamos la matriz ampliada $A^*$. La última columna es de ceros (columna de términos independientes), por lo que no puede aumentar el rango de la matriz. $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones.

Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Existe un menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Para el rango de $A^*$, observamos si las filas son dependientes. Si sumamos la primera y la tercera fila: $$F_1 + F_3 = (1, 1, -1, 0) + (1, 0, 1, 1) = (2, 1, 0, 1)$$ Que es exactamente la segunda fila ($F_2$). Al haber dependencia lineal entre las filas de la matriz ampliada: $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Sustituimos $m = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. El menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Analizamos la dependencia en $A^*$. Si restamos la segunda fila a la tercera: $$F_3 - F_2 = (1, 0, -1, -1) - (2, -1, 0, -1) = (-1, 1, -1, 0)$$ Que es exactamente la primera fila ($F_1$). Por tanto, las filas son linealmente dependientes y: $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resumen clasificación:** $$\boxed{\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\} & \text{SCD} \\ m \in \{0, 1, -1\} & \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo, si es posible, para el caso $m = 1$. (0.75 puntos)** Para $m = 1$, el sistema es SCI. Como hemos visto que $F_2 = F_1 + F_3$, podemos prescindir de una ecuación (por ejemplo, la segunda) y resolver el sistema con las otras dos: $$ \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x + z = 1 \end{cases} $$ Tomamos $x$ como parámetro $\lambda$ ($x = \lambda$): 1. De la segunda ecuación: $z = 1 - x = 1 - \lambda$. 2. Sustituimos en la primera: $\lambda + y - (1 - \lambda) = 0 \implies y = 1 - 2\lambda$. 💡 **Tip:** Al resolver un sistema compatible indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a $n - \text{rg}$, en este caso $3 - 2 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1 - 2\lambda, 1 - \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) Para qué valores de $m$ se tiene la solución $x = 0, y = 1, z = 1$. (0.5 puntos)** Sustituimos el punto $(0, 1, 1)$ en las tres ecuaciones del sistema original: 1. $m(0) + 1 - 1 = 0 \implies 0 = 0$ (Se cumple siempre) 2. $2(0) + m(1) = m \implies m = m$ (Se cumple siempre) 3. $0 + m(1) = m \implies m = m$ (Se cumple siempre) Dado que el punto satisface las tres ecuaciones independientemente del valor de $m$, y como hemos demostrado en el apartado (a) que el sistema es compatible para cualquier valor de $m$ (nunca es incompatible), la solución es válida para todo $m$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \in \mathbb{R}}$$