Distribución Binomial y su Aproximación a la Normal

**a) (0,75 puntos) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane exactamente 10 veces. (En este apartado, NO es necesario finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen).** Primero definimos qué se considera "ganar". El enunciado dice que se gana si sale el número 2 o un múltiplo de 2 en una ruleta con números del 1 al 25. Los números ganadores son: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24\}$. Contamos cuántos hay: hay **12 números ganadores** de un total de 25. La probabilidad de ganar en una sola tirada ($p$) es: $$p = \frac{12}{25} = 0,48$$ La probabilidad de no ganar ($q$) es: $$q = 1 - p = 1 - 0,48 = 0,52$$ 💡 **Tip:** En experimentos donde solo hay dos resultados posibles (éxito o fracaso) y las repeticiones son independientes, usamos la distribución Binomial.

Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de veces que el jugador gana. En este apartado, $n = 100$, por lo que $X$ sigue una distribución binomial: $$X \sim B(100; \, 0,48)$$ La fórmula para la probabilidad de tener exactamente $k$ éxitos es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para $k = 10$: $$P(X = 10) = \binom{100}{10} \cdot 0,48^{10} \cdot 0,52^{90}$$ Como el enunciado indica que no es necesario finalizar el cálculo, lo dejamos expresado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 10) = \binom{100}{10} (0,48)^{10} (0,52)^{90}}$$

**b) (0,75 puntos) Si juega 200 veces, calcule la probabilidad de que gane entre 90 y 110 veces, ambos valores incluidos.** Ahora tenemos $n = 200$ y $p = 0,48$. La variable es $X \sim B(200; \, 0,48)$. Como $n$ es grande, comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 200 \cdot 0,48 = 96 > 5$ 2. $n \cdot q = 200 \cdot 0,52 = 104 > 5$ Ambas condiciones se cumplen, por lo que podemos aproximar $X$ por una variable normal $Y \sim N(\mu, \sigma)$, donde: - $\mu = n \cdot p = 96$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0,48 \cdot 0,52} = \sqrt{49,92} \approx 7,065$ Así, $X \approx Y \sim N(96; \, 7,065)$. 💡 **Tip:** La aproximación es válida cuando $np > 5$ y $nq > 5$. Cuanto mayores sean estos valores, mejor será la aproximación.

Queremos calcular $P(90 \le X \le 110)$. Al pasar de una distribución discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la corrección de continuidad: $$P(90 \le X \le 110) \approx P(89,5 \le Y \le 110,5)$$ Ampliamos el intervalo medio unidad por cada lado para incluir los extremos. 💡 **Tip:** Si el intervalo es cerrado $[a, b]$, en la normal calculamos $[a-0,5, \, b+0,5]$.

Para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, tipificamos usando $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P(89,5 \le Y \le 110,5) = P\left(\frac{89,5 - 96}{7,065} \le Z \le \frac{110,5 - 96}{7,065}\right)$$ Calculamos los valores de $Z$: - $z_1 = \frac{-6,5}{7,065} \approx -0,92$ - $z_2 = \frac{14,5}{7,065} \approx 2,0524$ Redondeando a dos decimales para la tabla: $$P(-0,92 \le Z \le 2,05)$$

Descomponemos la probabilidad: $$P(-0,92 \le Z \le 2,05) = P(Z \le 2,05) - P(Z \le -0,92)$$ Como la tabla no suele dar valores negativos: $$P(Z \le -0,92) = 1 - P(Z \le 0,92)$$ Buscamos en la tabla de la $N(0,1)$: - $P(Z \le 2,05) = 0,9798$ - $P(Z \le 0,92) = 0,8212$ Sustituimos: $$P = 0,9798 - (1 - 0,8212) = 0,9798 - 0,1788 = 0,801$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(90 \le X \le 110) \approx 0,801}$$ *(Nota: El resultado puede variar ligeramente según el redondeo de $\sigma$ y los valores exactos de la tabla proporcionada en el examen).*